Une construction mathématique des gammes musicales
 

Richard Breheret

Gamme chromatique de Pythagore

Gamme diatonique

Pythagore et ses disciples ont entrepris, à la fin du VIe siècle avant Jésus-Christ, l'étude mathématique de la gamme musicale grecque née de la pratique des tétracordes, heptacordes et octocordes.
A cette époque, la monodie (un son unique émis) était seule pratiquée.

La légende prétend que Pythagore eut l'intuition de sa théorie des intervalles après avoir entendu des marteaux de forge frappant à la quarte, à la quinte et à l'octave.
Les Pythagoriciens étudièrent alors sur les monocordes les longueurs de corde correspondant à ces intervalles.

Platon attribue la première détermination de la gamme complète à Philolaos.
Il utilise cette théorie pour déterminer le nombre de l'âme du monde dans le Timée (31c).

Cette théorie définit les sept notes de la gamme par :

Une unité de longueur étant choisie, on peut ainsi définir différentes octaves :

{ 1 1024 , 1 512 , 1 256 , 1 128 , 1 64 , 1 32 , 1 16 , 1 8 , 1 4 , 1 2 , 1 , 2 , 4 , 8 , 16 , 32 , 64 , 128 , 256 , 512 , 1024 }

ainsi que différentes quintes

{ 1024 59049 , 512 19683 , 256 6561 , 128 2187 , 64 729 , 32 243 , 16 81 , 8 27 , 4 9 , 2 3 , 1 , 3 2 , 9 4 , 27 8 , 81 16 , 243 32 , 729 64 , 2187 128 , 6561 256 , 19683 512 , 59049 1024 }

Les six quintes sont les suivantes :

{ 2 3 , 1 , 3 2 , 9 4 , 27 8 , 81 16 , 243 32 }

Quintes et octaves ne peuvent pas coïncider du fait que 2 et 3 sont premiers entre eux.
Le tableau suivant explique en partie le choix des 12 quintes sur 7 octaves.

k ( 3 2 ) k n 2 n ( 3 2 ) k 2 n
0 1,0000 0 1 1,0000
1 1,5000 0 1 1,5000
2 2,2500 1 2 1,1250
3 3,3750 1 2 1,6875
4 5,0625 2 4 1,2656
5 7,5937 2 4 1,8984
6 11,391 3 8 1,4238
7 17,086 4 16 1,0679
8 25,629 4 16 1,6018
9 38,443 5 32 1,2014
10 57,665 5 32 1,8020
11 86,498 6 64 1,3515
12 129,75 7 128 1,0136
13 194,62 7 128 1,5205
14 291,93 8 256 1,1403
15 437,89 8 256 1,7105
16 656,84 9 512 1,2829
17 985,26 9 512 1,9243
18 1477,9 10 1024 1,4433
19 2216,8 11 2048 1,0824
20 3325,3 11 2048 1,6237
21 4987,9 12 4096 1,2177
22 7481,8 12 4096 1,8266
23 11223 13 8192 1,3700
24 16834 14 16384 1,0275
25 25251 14 16384 1,5412

Les premiers couples pour lesquels le quotient ( 3 2 ) k 2 n est petit sont les couples ( k ; n ) suivants : ( 7 ; 4 ) et ( 12 ; 7 ) .
Le premier couple définit les 7 notes de la gamme diatonique sur une octave.
Le second permet d'étendre la palette sonore en définissant la gamme chromatique.

En replaçant les quintes

{ 2 3 , 1 , 3 2 , 9 4 , 27 8 , 81 16 , 243 32 }

dans l'ordre de leurs valeurs croissantes appartenant à une même octave (par division de la puissance de 2 nécessaire) on obtient :

( 4 3 , 1 , 3 2 , 9 8 , 27 16 , 81 64 , 243 128 )

Ajoutons à la liste précédente le nombre 2 correspondant à l'octave supérieure

( 1 , 9 8 , 81 64 , 4 3 , 3 2 , 27 16 , 243 128 , 2 )

Il ne reste plus qu'à définir les notes ainsi obtenues sur une octave.

Do Mi Fa Sol La Si Do
1 9 8 81 64 4 3 3 2 27 16 243 128 2

Ces notes peuvent être représentées sur un axe.

Et écoutées…

Les intervalles successifs correspondants à la gamme précédente sont :

( 9 8 , 9 8 , 256 243 , 9 8 , 9 8 , 9 8 , 256 243 )

On peut adjoindre à la représentation graphique précédente les intervalles correspondants.

L'intervalle de ton est égal à 9 8 .
Le demi-ton est égal à 256 243 ; il est légèrement inférieur à la moitié d'un ton puisque 9 8 = 1,125 et ( 256 243 ) 2 = 1,109 arrondi au millième.

Cycle des quintes

On rappelle que les rapports associés aux quintes et octaves sont donnés par

k ( 3 2 ) k n 2 n ( 3 2 ) k 2 n
0 1,0000 0 1 1,0000
1 1,5000 0 1 1,5000
2 2,2500 1 2 1,1250
3 3,3750 1 2 1,6875
4 5,0625 2 4 1,2656
5 7,5937 2 4 1,8984
6 11,391 3 8 1,4238
7 17,086 4 16 1,0679
8 25,629 4 16 1,6018
9 38,443 5 32 1,2014
10 57,665 5 32 1,8020
11 86,498 6 64 1,3515
12 129,75 7 128 1,0136
13 194,62 7 128 1,5205
14 291,93 8 256 1,1403
15 437,89 8 256 1,7105
16 656,84 9 512 1,2829
17 985,26 9 512 1,9243
18 1477,9 10 1024 1,4433
19 2216,8 11 2048 1,0824
20 3325,3 11 2048 1,6237
21 4987,9 12 4096 1,2177
22 7481,8 12 4096 1,8266
23 11223 13 8192 1,3700
24 16834 14 16384 1,0275
25 25251 14 16384 1,5412

L'extension de la gamme diatonique nécessite d'augmenter le nombre de quintes de telle façon qu'elle s'approche au plus près d'une octave.
Le premier couple solution est ( k ; n ) = ( 12 ; 7 ) .

L'intervalle formé par la succession de 12 quintes pures est supérieur à l'intervalle formé par 7 octaves consécutives.
On appelle comma pythagoricien le rapport entre ces intervalles.
Notons le c p .

c p = ( 3 2 ) 12 2 7
c p = 531441 524288

et c p = 1,0136 arrondi au dix-millième.

Les quintes ascendantes successives sont :

{ 1 , 3 2 , 9 4 , 27 8 , 81 16 , 243 32 , 729 64 , 2187 128 , 6561 256 , 19683 512 , 59049 1024 , 177147 2048 , 531441 4096 }

Ramenées sur la première octave, ces quintes donnent les rapports suivants :

{ 1 , 3 2 , 9 8 , 27 16 , 81 64 , 243 128 , 729 512 , 2187 2048 , 6561 4096 , 19683 16384 , 59049 32768 , 177147 131072 , 531441 524288 }

On définit ainsi les notes altérées (diésées) correspondantes :

{ Do , Sol , , La , Mi , Si , Fa , Do , Sol , , La , Mi , Si }

ce qui donne

Do Sol La Mi Si Fa♯ Do♯ Sol♯ Ré♯ La♯ Mi♯ Si♯
1 3 2 9 8 27 16 81 64 243 128 729 512 2187 2048 6561 4096 19683 16384 59049 32768 177147 131072 531441 524288

En les classant dans l'ordre croissant sur [ 1 ; 2 ] , on obtient :

Do Si♯ Do♯ Ré♯ Mi Mi♯ Fa♯ Sol Sol♯ La La♯ Si
1 531441 524288 2187 2048 9 8 19683 16384 81 64 177147 131072 729 512 3 2 6561 4096 27 16 59049 32768 243 128

Les intervalles associés sont :

{ 531441 524288 , 256 243 , 256 243 , 2187 2048 , 256 243 , 2187 2048 , 256 243 , 256 243 , 2187 2048 , 256 243 , 2187 2048 , 256 243 }

On retrouve le demi-ton ( 256 243 ) et le comma pythagoricien c p   ( 531441 524288 ) .

Définissons maintenant les quintes descendantes :

{ 2 3 , 4 9 , 8 27 , 16 81 , 32 243 , 64 729 , 128 2187 , 256 6561 , 512 19683 , 1024 59049 , 2048 177147 , 4096 531441 }

Les notes altérées (bémolisées) sont :

{ Fa , Si♭ , Mi♭ , La♭ , Ré♭ , Sol♭ , Do♭ , Fa♭ , Si♭ , Mi♭ , La♭ , Ré♭ }

On obtient ainsi :

Fa Si♭ Mi♭ La♭ Ré♭ Sol♭ Do♭ Fa♭ Si♭ Mi♭ La♭ Ré♭
4 3 16 9 32 27 128 81 256 243 1024 729 4096 2187 8192 6561 32768 19683 65536 59049 262144 177147 1048576 531441

En les classant dans l'ordre croissant sur [ 1 ; 2 ] , on obtient :

Ré♭ Mi♭ Mi♭ Fa♭ Fa Sol♭ La♭ La♭ Si♭ Si♭ Do♭ Ré♭
256 243 65536 59049 32 27 8192 6561 4 3 1024 729 262144 177147 128 81 32768 19683 16 9 4096 2187 1048576 531441

Les intervalles correspondants entre deux notes consécutives sont :

{ 256 243 , 2187 2048 , 256 243 , 2187 2048 , 256 243 , 256 243 , 2187 2048 , 256 243 , 2187 2048 , 256 243 , 256 243 }

Gamme à 25 notes

Une fois classées, les quintes ascendantes et descendantes permettent d'obtenir la gamme suivante :

DoSi♯Ré♭Do♯Mi♭ Mi♭ Ré♯ Fa♭ Mi Fa Mi♯ Sol♭ Fa♯ La♭ Sol La♭ Sol♯ Si♭ La Si♭ La♯ Do♭ Si Ré♭
1 531441 524288 256 243 2187 2048 65536 59049 9 8 32 27 19683 16384 8192 6561 81 64 4 3 177147 131072 1024 729 729 512 262144 177147 3 2 128 81 6561 4096 32768 19683 27 16 16 9 59049 32768 4096 2187 243 128 1048576 531441

Cette gamme peut être représentée sur un axe.

Les intervalles entre deux notes consécutives de cette gamme sont

( 531441 524288 , 134217728 129140163 , 531441 524288 , 134217728 129140163 , 531441 524288 , 256 243 , 531441 524288 , 134217728 129140163 , 531441 524288 , 256 243 , 531441 524288 , 134217728 129140163 , 531441 524288 , 134217728 129140163 , 531441 524288 , 256 243 , 531441 524288 , 134217728 129140163 , 531441 524288 , 256 243 , 531441 524288 , 134217728 129140163 , 531441 524288 , 134217728 129140163 , 531441 524288 )

Cette gamme peut être écoutée

Gamme à 17 notes

On supprime les notes altérées proches des notes naturelles à savoir Si♯ , Mi♭ , Fa♭ , Mi♯ , La♭ , Si♭ , Do♭ et Ré♭ .
On obtient ainsi :

Do Ré♭ Do♯ Mi♭ Ré♯ Mi Fa Sol♭ Fa♯ Sol La♭ Sol♯ La Si♭ La♯ Si Do
1 256 243 2187 2048 9 8 32 27 19683 16384 81 64 4 3 1024 729 729 512 3 2 128 81 6561 4096 27 16 16 9 59049 32768 243 128 2

Les intervalles entre deux notes successives sont donnés par :

( 256 243 , 531441 524288 , 256 243 , 256 243 , 531441 524288 , 256 243 , 256 243 , 256 243 , 531441 524288 , 256 243 , 256 243 , 531441 524288 , 256 243 , 256 243 , 531441 524288 , 256 243 , 256 243 )

On retrouve le demi-ton et le comma pythagoricien c p .
Une représentation graphique de la gamme ainsi obtenue est la suivante

Et celle-ci peut être écoutée

Gamme à 12 notes

On effectue ici un choix entre les altérations pour n'en retenir qu'une dans chaque intervalle de ton.
Le choix habituel d'altérations de la gamme de Pythagore à 12 notes est le suivant :

Do Do♯ Mi♭ Mi Fa Fa♯ Sol Sol♯ La Si♭ Si Do
1 2187 2048 9 8 32 27 81 64 4 3 729 512 3 2 6561 4096 27 16 16 9 243 128 2

et une représentation graphique de cette gamme est

Les intervalles entre deux notes consécutives sont les suivants :

( 2187 2048 , 256 243 , 256 243 , 2187 2048 , 256 243 , 2187 2048 , 256 243 , 2187 2048 , 256 243 , 256 243 , 2187 2048 , 256 243 )

La gamme peut ainsi être représentée avec ses intervalles et écoutée

Les intervalles entre deux notes consécutives de la gamme diatonique sont résumés par la figure ci-dessous.

Chaque ton ( 9 8 ) se décompose en deux demi-tons inégaux ( 2187 2048 × 256 243 = 9 8 ) :

On a a l = 531441 524288 soit

a l = c p

Cette relation impose que l'une des 12 quintes formées à l'aide des degrés de la gamme soit plus courte que les autres de 1 comma.
On choisit généralement de raccourcir la quinte Mi♭ 2 Sol♯ 1 (peu utilisée) appelée quinte du loup.
En s'appuyant sur les calculs précédents, on peut établir les relations suivantes :

Gamme de Zarlin (1517 – 1590)

On considère les sons émis par des cordes de longueurs

{ 1 , 1 2 , 1 3 , 1 4 , 1 5 , 1 6 }

Chaque longueur est moyenne harmonique de ses longueurs pécédente et suivante (suite harmonique).
On rappelle que la moyenne harmonique m entre deux nombres non nuls a et b est définie par

2 m = 1 a + 1 b

et la moyenne harmonique de 1 n et 1 n + 2 est 1 n + 1 .

La gamme de Zarlin est définie en associant trois quintes successives, chacune comportant un intervalle de tierce majeure.
Cet intervalle de tierce est donné par la moyenne harmonique de 1 et 3 2 c'est-à-dire 6 5 .
L'intervalle de tierce par rapport à Do est donc égal à 3 2 6 5 soit 5 4 .
La superposition des trois quintes donne

{ 2 3 , 1 , 3 2 , 9 4 }

et celle des trois tierces

{ 5 6 , 5 4 , 15 8 }

ce qui donne finalement

{ 2 3 , 5 6 , 1 , 5 4 , 3 2 , 15 8 , 9 4 }

Ramenés sur une octave, ces intervalles donnent

{ 4 3 , 5 3 , 1 , 5 4 , 3 2 , 15 8 , 9 8 }

Classés dans l'ordre sur une octave, on obtient alors les rapports suivants :

( 1 , 9 8 , 5 4 , 4 3 , 3 2 , 5 3 , 15 8 , 2 )

Les notes correspondantes sont

Do Mi Fa Sol La Si Do
1 9 8 5 4 4 3 3 2 5 3 15 8 2

Les intervalles entre deux notes successives sont

( 9 8 , 10 9 , 16 15 , 9 8 , 10 9 , 9 8 , 16 15 )

et une représentation graphique de cette gamme est

L'octave ainsi définie comporte trois type d'intervalles :

Le rapport entre ton majeur et ton mineur est appelé comma zarlinien (ou syntonique).
Il est donné par

c z = 9 8 10 9

soit

c z = 81 80

Le rapport entre comma pythagoricien et comma zarlinien est appelé schisma et il est donné par

s = c p c z

soit

s = 32805 32768

Cette gamme peut être écoutée ici.
La tierce majeure pure ( 5 4 ) est inférieure à la tierce pythagoricienne ( 81 64 ) dans le rapport 81 64 5 4 soit 81 80 , c'est-à-dire d'un comma zarlinien.
La présence des deux tons mineur et majeur rendant impossible la transposition, les altérations sont obtenues à partir du demi-ton mineur défini comme rapport entre le ton mineur ( 10 9 ) et le demi-ton majeur ( 16 15 ) .
Ce demi-ton est donc égal à 10 9 16 15 c'est-à-dire 25 24 .
Une note est diésée en la multipliant par 25 24 et bémolisée en la multipliant par 24 25 .
Rappelons que les notes naturelles de la gamme de Zarlin sont

Les notes diésées sont donc

{ 25 24 , 75 64 , 125 96 , 25 18 , 25 16 , 125 72 , 125 64 }

ce qui donne

Do♯ Ré♯ Mi♯ Fa♯ Sol♯ La♯ Si♯
25 24 75 64 125 96 25 18 25 16 125 72 125 64

Les notes bémolisées sont

{ 27 25 , 6 5 , 32 25 , 36 25 , 8 5 , 9 5 , 48 25 }

ce qui donne

Ré♭ Mi♭ Fa♭ Sol♭ La♭ Si♭ Do♭
27 25 6 5 32 25 36 25 8 5 9 5 48 25

On obtient finalement la gamme chromatique suivante

Do Do♯ Ré♭ Ré♯ Mi♭ Mi Fa♭ Mi♯ Fa Fa♯ Sol♭ Sol Sol♯ La♭ La La♯ Si♭ Si Do♭ Si♯ Do
1 25 24 27 25 9 8 75 64 6 5 5 4 32 25 125 96 4 3 25 18 36 25 3 2 25 16 8 5 5 3 125 72 9 5 15 8 48 25 125 64 2

Cela représente 21 notes.

qui peuvent être écoutées ici.

Si l'on conserve les notes chromatiques de la gamme de Pythagore, on obtient

Do Do♯ Mi♭ Mi Fa Fa♯ Sol Sol♯ La Si♭ Si Do
1 25 24 9 8 6 5 5 4 4 3 25 18 3 2 25 16 5 3 9 5 15 8 2

qui peut être écoutée ici.

Gamme à tempérament égal

Le tempérament égal à 12 notes fait correspondre 12 quintes et 7 octaves.
On est donc amené à résoudre l'équation x 12 = 2 .
On en déduit que le demi-ton est égal à 2 12 .
La gamme à tempérament égal est donc donnée par les rapports suivants :

( 1 , 2 12 , 2 6 , 2 4 , 2 3 , 2 5 / 12 , 2 , 2 7 / 12 , 2 2 / 3 , 2 3 / 4 , 2 5 / 6 , 2 11 / 12 , 2 )

La gamme à tempérament égal peut être écoutée ici.