Similitudes planes  

Dans le programme de spécialité de terminale, la définition adoptée pour les similitudes permet de " dérouler " bon nombre de propriétés et, notamment, le fait que toute similitude conserve les angles géométriques. On peut ensuite s’intéresser aux similitudes qui conservent les angles orientés, que l’on nomme similitudes directes (on sait qu’il en existe) et aux autres...On est ainsi amené à démontrer  que les autres similitudes transforment tout angle orienté en son opposé. Ce classement des similitudes n’est pas toujours explicité.
Une fois n’est pas coutume, ce texte propose un cours sur les similitudes qui n’occulte pas ce problème. Il est rédigé par le groupe de production  à partir des documents produits par le groupe " géométrie : nombres complexes " qui a participé à la réflexion sur les programmes de terminale au printemps 2002 dans l’académie.

Dans tout cet exposé, on considérera le plan orienté muni d'un repère orthonormal direct ( O , u "\[Rule]" , v "\[Rule]" ) .

A. Définitions et propriétés

1. Définitions et exemples

Définition : On appelle similitude toute transformation du plan qui conserve les rapports de distances.

Exemple : Soit I un point du plan. On considère l'homothétie de centre un point I et de rapport 2 et la rotation de centre I et d'angle π 2 .
Soient
A, B, C et D des points du plan tels que A B et C D ; on note A 1 l'image de A par h et A 2 l'image de  A 1 par r; on définit de même B 1 , B 2 , C 1 , C 2 , D 1 et D 2 .
On a alors
A 1 B 1 = 2 AB et A 2 B 2 = A 1 B 1 donc A 2 B 2 = 2 AB ; comme on a de même C 2 D 2 = 2 CD il en résulte que C 2 D 2 A 2 B 2 = CD AB
ainsi r h conserve les rapports de distances et comme r h est une transformation c'est une similitude.

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Autres exemples : les translations,les rotations,les symétrie axiales et les homothéties sont des similitudes.

Propriété : Une transformation F est une similitude si, et seulement si, il existe un réel k strictement positif tel que, quels que soient les points M et N d'images M et N , on a M ' N ' = k MN .
Ce rapport k est appelé rapport de la similitude.
Démonstration :
Soit F une similitude, soient A et B deux points distincts d'images respectives A et B et soit k le réel strictement positif tel que  A ' B ' = k AB .
Pour tous points M et N distincts du plan  d'images respectives M et N , on a M ' N ' puisque F est une transformation,
d'où  M ' N ' = M ' N ' A ' B ' A ' B ' .
Or F conserve les rapports de distance  donc M ' N ' A ' B ' = MN AB ;
ainsi M ' N ' = MN AB A ' B ' ,  et M ' N ' = MN AB k AB , soit M ' N ' = k MN .
Si  M = N  alors   M ' = N ' et on a encore M ' N ' = k MN .
Réciproquement, supposons que F soit une transformation et qu'il existe un réel k strictement positif, tel que quels que soient les points M et N d'images M et N on ait M ' N ' = k MN .
Soient A, B, C et D quatre points du plan tels que  A B et C D d'images respectives A , B , C et D , on a alors :
A ' B ' = k AB et  C ' D ' = k CD ,
A ' B ' et C ' D ' car F est une transformation, et k 0  donc   A ' B ' C ' D ' = k AB k CD  soit   A ' B ' C ' D ' = AB CD .
Ainsi, F est une transformation qui conserve les rapports des distances.

Exemple : Soit A un point du plan. On considère la transformation f du plan qui à tout point M, M A , associe le point M ' tel que le triangle AMM ' soit un triangle direct, isocèle et rectangle en M, avec f ( A ) = A : on démontrera que f est une similitude de rapport 2 .

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Autres exemples :

En effet, par exemple, pour les transformations du plan dont l'écriture complexe est de la forme   z a z + b , tout point d'affixe u admet pour unique antécédent le point d'affixe u - b a , il s'agit donc bien d'une transformation du plan;
Si m' et n' sont les affixes des images de deux points d'affixes m et n vérifiant :
m ' = a m + b   et   n ' = a n + b
on a  
m ' - n ' = a ( m - n )
puis  
| m ' - n ' | = | a | | m - n | , ce qui montre que la transformation multiplie les distances par | a | .

Propriété : La composée de deux similitudes, l'application identité, la réciproque d'une similitude sont des similitudes.
Démonstration :
Soient s et s '   deux similitudes de rapports k et k ' .On considère la transformation s ' s .
Quels que soient A et B deux points du plan, A et B leurs images par s et A ′′ et B ′′ les images de A et B par s ' ,
s   étant une similitude de rapport k , A ' B ' = k AB ,
s '   étant une similitude de rapport k ' , A ′′ B ′′ = k ' A ' B ' ,
ainsi,   A ′′ B ′′ = ( k ' k ) AB .
Par conséquent,  s ' s est une similitude de rapport k ' k .
L'application identité est une isométrie, c'est donc une similitude.
Soit s une similitude de rapport k et soit t sa transformation réciproque,
pour tous points M et N d'images respectives M et N par t t ( M ) = M ' s ( M ' ) = M  et  s ( N ) = N ' t ( N ' ) = N
on a alors MN = k M ' N ' et k 0 donc M ' N ' = 1 k MN : t est une similitude de rapport 1 k .

Remarque : La composition des similitudes n'est pas commutative.

Exemple :
Soit ABCD un carré direct de centre O.

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On considère les deux similitudes suivantes:

On a h ( O ) = C r ( O ) = O   et   r ( C ) = D ,
ainsi
r h ( O ) = D et h r ( O ) = C : r h h r .

Autre exemple :
On considère les transformations f et g de formes complexes respectives 
z z _ + i  et  z 2 i z + 1 .
On note O, I, J, K et A les points d'affixes respectives 0, 1, i,
- 1 et 1 + i .
On obtient alors en utilisant les formes complexes :
f ( O ) = J , g ( J ) = K donc g f ( O ) = K et g ( O ) = I f ( I ) = A donc f g ( O ) = A , on a encore   f g g f .

2. Propriétés

Propriété : Une similitude ayant deux points fixes distincts A et B est soit l'identité, soit une symétrie axiale d'axe (AB).
Démonstration :
Soit s une similitude ayant deux points fixes distincts A et B : donc s ( A ) s ( B ) = AB et le rapport de la similitude s est 1.
Soit C un point n'appartenant pas à la droite (AB) et C son image.
Ou bien C ' = C . La similitude s admet trois points fixes non alignés : montrons que s est alors l'identité.
Pout tout point M du plan d'image M ,
on a AM ' = AM , BM ' = BM et CM ' = CM , puisque s a pour rapport 1.
Raisonnons par l'absurde et supposons que M ' M , alors, les points A, B et C appartiennent à la médiatrice du segment   [ MM ' ] , ce qui est impossible car A, B et C sont trois points non alignés .
Par conséquent, M ' M  et s est l'identité.
Ou bien C ' C . Comme AC ' = AC et BC ' = BC , la droite (AB) est la médiatrice du segment [ CC ' ] .
Soit s ( AB ) la symétrie d'axe (AB).
s ( AB ) s ( C ) = s ( AB ) ( C ' ) et s ( AB ) ( C ' ) = C puisque  (AB) est la médiatrice de [ CC ' ] .
Donc   s ( AB ) s ( C ) = C .
D autre part, s ( AB ) s ( A ) = A et s ( AB ) s ( B ) = B .
La composée de deux similitudes s ( AB ) s est une similitude qui admet 3 points fixes non alignés, donc, d'après le cas précédent s ( AB ) s est l'identité et par conséquent s est la symétrie axiale d'axe (AB).

Propriété : Un triangle et son image par une similitude sont semblables.
En effet, l'image d'un triangle ABC est un triangle dont les côtés sont proportionnels chacun à chacun aux côtés du triangle ABC.

Propriété : Toute similitude conserve les angles géométriques.
Démonstration : Soient A, B et C trois points non alignés du plan et s une similitude de rapport k .
On considère A , B et C les images respectives de A, B et C par s .
D après la formule d'Al Kashi, on a , puisque A B et A C , A ' B ' et A ' C ' :
cos ( AC ; AB ) = BC 2 - ( AC 2 + AB 2 ) AC × AB et   cos ( A ' C ' ; A ' B ' ) = B ' C ' 2 - ( A ' C ' 2 + A ' B ' 2 ) A ' C ' × A ' B ' .
Or B ' C ' = k BC , A ' C ' = k AC et A ' B ' = k AB ,
d'où   B ' C ' 2 - ( A ' C ' 2 + A ' B ' 2 ) A ' C ' × A ' B ' = k 2 BC 2 - ( k 2 AC 2 + k 2 AB 2 ) k 2 AC × AB ,
puis, après simplification par k 2 : B ' C ' 2 - ( A ' C ' 2 + A ' B ' 2 ) A ' C ' A ' B ' = BC 2 - ( AC 2 + AB 2 ) AC AB
Par conséquent, cos ( AC ; AB ) = cos ( A ' C ' ; A ' B ' ) .
On en déduit que ( A ' C ' ; A ' B ' ) = ( AC ; AB ) [ 2 π ]   ou   ( A ' C ' ; A ' B ' ) = - ( AC ; AB ) [ 2 π ] .

Remarque : Cette démonstration vient d'établir que toute similitude transforme tout angle orienté en un angle égal ou bien en son opposé.

B. Similitudes directes

1. Définitions et exemples

Définition : Une similitude directe est une similitude qui conserve les angles orientés.
C est à dire qu'une similitude s est directe si, et seulement si, pour tous points
A, B, C et D d'images respectives A , B , C et D , tels que A B et C D , on a : ( A ' B ' ; C ' D ' ) = ( AB ; CD ) .

Exemple : Les translations, homothéties et rotations sont des similitudes directes.

Propriété : La composée de deux similitudes directes et la réciproque d'une similitude directe sont des similitudes directes.

Définition : Deux triangles semblables sont directement semblables si, et seulement si, leurs angles orientés correspondants sont égaux.
Deux triangles semblables sont inversement semblables si leurs angles correspondants sont opposés.

Propriété : Un triangle et son image par une similitude directe sont directement semblables.
En effet, d'après la partie A, un triangle et son image sont semblables. De plus une similitude directe conserve les angles orientés, donc les triangles sont directement semblables.

2. Forme complexe des similitudes directes

Lemme : Si s est une similitude directe du plan, si p , q  et  r   sont les affixes de trois points deux à deux distincts et si p ' , q '  et  r '   sont les affixes de leurs images par s, alors r ' - p ' q ' - p ' = r - p q - p .
Démonstration :
Soit P, Q et R trois points deux à deux distincts du plan d'affixes p , q  et  r et P', Q' et R' leurs images respectives d'affixes p ' , q '  et  r ' par une simlitude directe s.
| r ' - p ' q ' - p ' | = P ' R ' P ' Q ' et | r - p q - p | = PR PQ or comme s est une similitude : P ' R ' P ' Q ' = PR PQ donc | r ' - p ' q ' - p ' | = | r - p q - p |
arg ( r ' - p ' q ' - p ' ) = ( P ' Q ' ; P ' R ' ) et arg ( r - p q - p ) = ( PQ ; PR ) , or comme s est une similitude directe, ( P ' Q ' ; P ' R ' ) = ( PQ ; PR ) donc arg ( r ' - p ' q ' - p ' ) = arg ( r - p q - p ) .
Deux nombres complexes ayant même module et même argument étant égaux, on obtient : r ' - p ' q ' - p ' = r - p q - p .

Propriété : Les similitudes directes sont les transformations dont l'écriture complexe est de la forme z a z + b où  a et b sont deux nombres complexes, a  étant non nul.
Démonstration :
Soit s une similitude directe et z un nombre complexe.
On applique le lemme précédent avec p = 0 , q = 1  et  r = z , on obtient :
z ' - p ' q ' - p ' = z - 0 1 - 0 et donc z ' = ( q ' - p ' )  z + p ' où   p ' , q '  et  z ' désignent les affixes des images par s des points d'affixes 0 , 1 , z .
Il en résulte que s a une écriture complexe de la forme   z a z + b où   a est un complexe non nul.
Réciproquement, soit s une transformation d'écriture complexe   z a z + b où   a est non nul :
On a vu dans la partie A que s est une similitude;
Considérons les affixes m, n, p et q de points dont les images respectives par s ont pour affixes m', n', p' et q' avec m n  et  p q ,
n ' - m ' q ' - p ' = a n + b - a m + b a q + b - a p + b d'où n ' - m ' q ' - p ' = n - m q - p , en utilisant les arguments il en résulte que s conserve les angles orientés.
Finalement s est une similitude directe.

Propriété : Soient A, B, C et D quatre points du plan tel que A B et C D alors il existe une unique similitude directe s  telle que s ( A ) = B et s ( C ) = D .
Démonstration :
Existence :
On considère la similitude directe s d'écriture complexe z a z + b , avec | a | = BD AC et arg  a = ( AC , BD ) , b = z B - a z A , ( z A , z B , z C et z D sont les affixes respectives des points A, B, C et D).
Ainsi,   a = z D - z B z C - z A ;
s ( A ) a pour affixe a ' = a z A + ( z B - a z A ) donc a ' = z B  et s ( A ) = B ;
et s ( C ) a pour affixe c ' = a z C + ( z B - a z A ) d'où  c ' = a ( z C - z A ) + z B ,
c ' = z D - z B z C - z A ( z C - z A ) + z B ,
c ' = z D et   s ( C ) = D .
Unicité : Soit τ une similitude directe telle que τ ( A ) = B et τ ( C ) = D , d'écriture complexe z α z + β ,
on a z B = α z A + β et z D = α z C + β
d'où  α = z D - z B z C - z A et   β = z B - α z A ,
soit α = a et β = b ainsi τ = s .

3. Eléments caractéristiques d'une similitude directe

Propriété : Soit s une similitude directe, l'angle orienté de vecteurs ( MN , s ( M ) s ( N ) ) ne dépend pas des points distincts M et N.
Cet angle est appelé angle de la similitude ; il est égal à l'argument de a si l'écriture complexe de s est z a z + b avec a 0 .

Démonstration :
Pour tous points distincts M et N, ( MN , s ( M ) s ( N ) ) = arg ( ( a n + b ) - ( a m + b ) n - m ) ( 2 π )
soit ( MN , s ( M ) s ( N ) ) = arg ( a ) ( 2 π ) .

Propriété : L'angle de la composée de deux similitudes directes est égale à la somme des angles des deux similitudes.
Démonstration :
Soit s et s ' les similitudes directes d'écritue complexe z a z + b et z a ' z + b ' où   a ,   b ,   a ' , b ' sont des complexes avec a 0 et a ' 0
La composée s '' = s ' s a pour écriture complexe z a ' ( a z + b ) + b ' soit z a a ' z + b a ' + b ' .
L'angle de cette similitude est donc arg ( a a ' ) soit arg ( a ) + arg ( a ' ) d'après les propriétés sur les arguments de nombres complexes.

Propriété : Une similitude directe qui n'est pas une translation admet un unique point fixe. Ce point est appelé le centre de la similitude.
Démonstration :
Soit s une similitude directe d'écritue complexe z a z + b avec a 0.
z = a z + b si, et seulement si ( 1 - a ) z = b
Si a = 1 , la similitude est une translation de vecteur u "\[Rule]" d'affixe b ;
Si a 1 , la similitude admet un unique point fixe d'affixe b 1 - a .

Propriété : Soit I le centre d'une similitude directe. Soient M et N deux points distincts du plan, M' et N' leurs images alors les triangles IMM ' et INN ' sont directement semblables.
Démonstration :
On a : ( I M ' , I N ' ) = ( IM , I N )  et  ( MN , MI ) = ( M ' N ' , M ' I )  puisque s : I "\[Rule]" I , s : M "\[Rule]" M ' et  s : N "\[Rule]" N ' .

4. Description géométrique des similitudes directes

Propriété : Etant donné une similitude directe s de rapport k et d'angle θ :
    - Soit
s est une translation ( k = 1 et θ = 0 ( 2 π ) );
    - Soit
s possède un unique point fixe Ω et est la composée commutative de l'homothétie de centre Ω et de rapport k et de la rotation de centre Ω et d'angle θ.

Démonstration : s est une similitude directe donc elle admet une écriture complexe de la forme   z a z + b où   | a | = k et arg ( a ) = θ ( 2 π ) .
Si k = 1 et θ = 0 ( 2 π ) , c'est à dire si a = 1 , s est une translation de vecteur v "\[Rule]" d'affixe b .
Si a 1 , s admet un unique point fixe Ω d'affixe ω = b 1 - a .
Et si M est un point du plan d'affixe z et M d'affixe z ' , son image par s alors   z ' - ω = a ( z - ω )
soit z ' - ω = k e i θ ( z - ω )
Soit h l'homothétie de centre Ω et de rapport k et r la rotation de centre Ω et d'angle θ.
Montrons que s = r h .
Soit M un point du plan d'affixe z , soit P d'affixe p l'image de M par h et Q d'affixe q l'image de P par r .
On a : p - ω = k ( z - ω ) et q - ω = e i θ ( p - ω ) ,
d'où   q - ω = k e i θ ( z - ω ) .
Or   z ' - ω = k e i θ ( z - ω ) par conséquent z ' = q soit M ' = Q .
Conclusion : Pour tout point M du plan, dont l'image par s est M , on a   M ' = r h ( M ) soit s = r h .
Montrons que r h = h r :
L'écriture complexe de h est : z k ( z - ω ) + ω , celle de   r est : z e i θ ( z - ω ) + ω ,
donc l'écriture complexe de r h est : z e i θ ( ( k ( z - ω ) + ω ) - ω ) + ω ,
soit   z k e i θ z + ( ω - k e i θ ω )
ou encore z k e i θ z + b , puisque ω = k e i θ ω + b ,
et l'écriture complexe de h r est :   z k ( ( e i θ ( z - ω ) + ω ) - ω ) + ω ,
soit z k e i θ z + ( ω - k e i θ ω )
ou z k e i θ z + b .
Par conséquent h r = r h et s = h r = r h .

Exemple : On considère un triangle direct ABC rectangle et isocèle en A. Alors B est l'image de A par la similitude directe de centre C, d'angle π 4 et de rapport 2 .

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En effet, si D est l'image de A par la rotation r de centre C et d'angle π 4 , alors B est l'image de D par l'homothétie h de centre C et de rapport 2 . Ainsi B = h r ( A ) , B est bien l'image de A par la similitude directe de centre C, d'angle π 4 et de rapport 2 .

5. Déplacements

Définition : Un déplacement est une similitude de rapport 1, c'est à dire une isométrie qui conserve les angles orientés.

Exemple : les translations et les rotations sont évidemment des similitudes directes, les symétrie axiales n'en sont pas.

Propriété : Tout déplacement est soit une rotation soit une translation.
Démonstration : D'après le paragraphe 4, tout déplacement est donc soit une translation soit la composée d'une rotation et d'une homothétie de rapport 1, c'est à dire une rotation car une homothétie de rapport 1 est l'identité.

C. Etude générale des similitudes planes

1. Similitudes indirectes

Théorème : Toute similitude non directe peut s'écrire sous la forme s σ où  s désigne une similitude directe et σ une symétrie axiale.
Démonstration :
Soient A et B deux points distincts et A et B leurs images par une similitude s ' non directe.
Comme A, B, A , B sont quatre points du plan tels que A B et A ' B ' , d'après B; 2. il existe une unique similitude directe s transformant A en A et B en B . Notons s - 1 la similitude réciproque de s .
s - 1 s ' est une similitude, comme composée de deux similitudes, qui admet deux points fixes A et B.
Or s - 1 s ' n'est pas l'identité (sinon s ' serait directe puisqu'égale à   s ) : c'est donc une symétrie axiale d'après le paragraphe A. 2.
On note σ cette symétrie : s - 1 s ' = σ soit s ' = s σ .

Remarque : Ce théorème conduit à la définition suivante et au corollaire suivant :

Définition : On appelle similitude indirecte toute similitude qui transforme tout angle orienté en son opposé.

Corollaire : Toute similitude du plan est soit directe soit indirecte.

Exemple : Les symétries axiales sont des similitudes indirectes.

2. Ecriture complexe d'un similitude plane

Théorème : Toute similitude plane admet une écriture complexe de la forme z a z + b ou z a z _ + b où   a * et b .
Démonstration : Soit ρ une similitude :

Exemple :On considère un triangle isocèle direct OAB rectangle en O.
A tout point M du plan, M O , on associe les points M 1 et M 2 tels que les triangles OMM 1 et AMM 2 soit direct, isocèle et rectangle respectivement en O et en A. Déterminons la transformation f qui envoie M 1 en M 2 .

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On a, M 1 = r O ( M ) ,   M 2 = r A ( M ) et M 2 = r A r O - 1 ( M 1 ) , où   r A et r O sont les rotations d'angle π 2 et de centre respectifs A et O.
La forme complexe de
r O est z ' = i z et celle de r A est z ' - a = i ( z - a ) où   a est l'affixe de A.
On a alors  
z 2 = i ( z - a ) + a   et   z 1 = i z   soit   z = - i z 1  
puis  
z 2 = i ( - i z 1 - a ) + a  
et enfin  
z 2 - z 1 = a - i a ,
c'est à dire
M 1 M 2 = BA  (B a pour affixe i a ) et f est donc la translation de vecteur BA .

3. Effet des similitudes planes sur certaines configurations

Propriété : Toute similitude transforme une droite en une droite, un segment en un segment, un cercle de centre O et de rayon R en un cercle de centre O', l'image de O par la similitude, et de rayon k R où   k est le rapport de la similitude.
De plus, toute similitude conserve le barycentre.

Démonstration : Ces propriétés découlent directement de l'effet d'une homothétie, d'une rotation ou d'une symétrie axiale sur les droites, les segments, les cercles et les barycentres.