Le tétraèdre orthocentrique
  1. Première vision du problème
    Sur la figure 1 sont représentés un tétraèdre SABC, la hauteur [AL] du triangle ABC, la hauteur [SM] du triangle SBC et le triangle SAA', intersection du plan PA contenant la droite (SA) et perpendiculaire au plan (SBC) avec le tétraèdre. Nous nous limitons au cas où la droite (SA) n'est pas elle-même perpendiculaire au plan (SBC), cas que nous évoquerons plus loin. Pour figurer le plan PA, nous avons utilisé la droite (Sx), passant par S et orthogonale à (SB) et à (SC).

    Figure 1 :

    L'action sur le point S de la figure 1 permet de poser une question : est-il envisageable que les points L et M soient confondus ? Dans le où ils le sont, ne le sont-ils pas aussi avec le point A' ?

    Les réponses se bousculent : si L et M sont confondus, alors la droite (CB) est perpendiculaire au plan (SLA), et les plans (SLA) et (SBC) sont perpendiculaires, et dans ce cas on peut dire que le plan (SLA) est le plan perpendiculaire au plan (SBC) contenant la droite (SA) - avec la réserve faite au paragraphe précédent - et donc A' est confondu avec L, et la hauteur issue de L du triangle SLA est la perpendiculaire commune à (SA) et (BC) et ... on conclut à la nécessité d'organiser la discussion.


  2. Plans-hauteurs d'un trièdre
    L'objet mathématique représenté sur la figure 2 est un trièdre. Comme souvent en mathématiques, le mot trièdre a différentes acceptions : on peut appeler trièdre un ensemble de trois demi-droites de même origine ([Sa), [Sb) et [Sc) ici), ou l'ensemble des points appartenant à l'une au moins de ces demi-droites, ou une partie de l'espace (définie comme intérieure ... au trièdre), ou comme un triplet de demi-droites de même origine, ou comme un quadruplet dont la première projection est un point et les autres des demi-droites issues de ce point, etc.

    Figure 2

    Peu importe. Appelons Sabc le trièdre représenté sur la figure 2, et supposons qu'aucun des angles au sommet n'est droit. On peut alors définir, comme au paragraphe précédent, le plan contenant une des arêtes et perpendiculaire à la face opposée (les expressions angle au sommet, arête, face prennent leur signification au fur et à mesure). Deux tels plans sont représentés sur la figure 2, sur laquelle on a également tracé leur intersection. Les plans (Saa') et (Scc') sont en effet sécants selon une droite Δ : ils possèdent un point commun, S, et ne sont pas confondus : s'ils l'étaient, ils seraient tous deux égaux au plan (Sac) et la droite (Sb), contenue dans deux plans perpendiculaires au plan (Sac), serait perpendiculaire à ce plan, hypothèse écartée au début de ce paragraphe.

    La figure 3 complète la figure 2 : par un point W de la droite Δ passe un unique plan orthogonal à cette droite, qui rencontre les arêtes du tétraèdre en les points A, B et C respectivement - sauf cas particulier sur lequel il faudra également revenir - . La droite Δ est orthogonale à toutes les droites du plan (ABC), et en particulier à (BC). Le plan (SAW) contient une autre droite orthogonale à (BC), par exemple la droite passant par S et orthogonale à (SB) et (SC) qui a servi à le définir. Il s'ensuit que la droite (BC) est orthogonale à deux droites sécantes du plan (SAW), donc à toutes les droites de ce plan, donc à (AW). Nous avons donc mis en évidence une hauteur du triangle ABC : la droite (AW). La droite (CW) en est une autre, W est donc l'orthocentre du triangle ABC, (BW) en est donc la troisième hauteur. Il s'ensuit que le plan (SBW) contient deux droites orthogonales à (AC), qu'il est donc orthogonal à cette droite et perpendiculaire au plan (Sac) qui la contient. Nous sommes revenus au trièdre de départ et nous pouvons conclure à la propriété de concours des plans-hauteurs du trièdre.

    Figure 3

  3. Bilan et retour sur les cas particuliers
    Les cas particuliers évoqués se ramènent au cas où une des arêtes du trièdre, (SA) pour fixer les idées, est orthogonale à la face définie par les deux autres. Dans ce cas, il faudrait commencer par définir les plans-hauteurs issus de ces deux autres arêtes et admettre que tout plan contenant (SA) peut faire office de plan-hauteur. Seul le cas du trièdre tri-rectangle résiste alors à notre raisonnement. Laissons-le de côté pour l'instant.
    Nous avons fait apparaître un objet mathématique intéressant. Le tétraèdre SABC de la figure 3 est tel qu'un de ses sommets, en l'occurrence S, se projette orthogonalement en l'orthocentre de la face opposée. La figure 4 permet l'étude de cette situation particulière. La hauteur (AH) du triangle SAA', orthogonale à (SA') comme il se doit, est aussi orthogonale à (BC), elle-même orthogonale au plan (SAA'). La droite (AH) est orthogonale à deux droites sécantes du plan (SBC), donc orthogonale à ce plan. Mutatis mutandis, on conclut que H est l'orthocentre du triangle SBC. On déduit finalement : si un sommet d'un tétraèdre se projette orthogonalement en l'orthocentre de la face opposée, alors il en est de même de tous les sommets. Le tétraèdre est alors dit orthocentrique.
    Figure 4

    Une idée générale à retenir est qu'il existe pour le tétraèdre (ou pour les trièdres) des propriétés, analogues de celles du triangle dans le plan. Certaines de ces propriétés se trouvent particulièrement mises en valeur par l'utilisation du barycentre ou du produit scalaire, par exemple, mais elles ne leur doivent rien.

  4. Mise en oeuvre du produit scalaire
    Le choix pédagogique est à présent ouvert : on peut considérer les tétraèdres particuliers comme champs d'action pour des exercices utilisant le produit scalaire, et donc démontrer de nouvelles propriétés à l'aide de cet outil, ou s'appuyer sur ce que la géométrie « sans vecteur » nous a appris pour voir fonctionner le produit scalaire, dont la définition « par extension à l'espace » peut décevoir.

    1. Définitions équivalentes
      Soit ABCD un tétraèdre. Montrer les équivalences suivantes :
      (1) ABCD est un tétraèdre orthocentrique
      (2) Les arêtes opposées de ABCD sont orthogonales
      (3) Les « hauteurs » du tétraèdre (droites issues d'un sommet et orthogonales à la face opposée) sont concourantes.

      Pistes pour la preuve : décomposer le produit scalaire BA . CD en « passant » par l'orthocentre du triangle BCD pour une des deux démonstrations, par le point de concours des hauteurs du tétraèdre pour l'autre.

    2. Exemples
      Le tétraèdre régulier est orthocentrique.
      Tout tétraèdre tri-rectangle est orthocentrique (où on retrouve, par une autre approche, notre dernier cas particulier).

    3. Autres propriétés
      Dans un tétraèdre orthocentrique, l'orthocentre H, le centre de gravité G et le centre O de la sphère circonscrite (à étudier) sont alignés.
      Un tétraèdre est orthocentrique si et seulement si la somme des carrés des longueurs de deux arêtes opposées est la même pour chacune des trois paires d'arêtes opposées.

A consulter (en bibliothèque): "Premier livre du Tétraèdre" de P. Couderc et A. Balliccioni, Editions Gauthier-Vilars, 1935