La symétrie glisse de la seconde à la terminale
un thème à suivre
  1. Où les hauteurs d'un triangle, qui étaient connues comme médiatrices d'un triangle " plus grand ", se révèlent bissectrices d'un triangle " plus petit "

Une présentation classique établit en quatrième la propriété de concours des hauteurs d'un triangle ABC en les considérant comme médiatrices du triangle dont A, B et C sont les milieux des côtés.
Dans le triangle ABC de la figure 1, les pieds L, M et N des hauteurs sont les sommets d'un triangle (appelé dans certains ouvrages triangle orthique) dont elles sont les bissectrices : les cercles de diamètres respectifs [BH] et [CH] ont été figurés pour repérer des angles inscrits complémentaires de l'angle A du triangle ABC... Évidemment, ce point de vue n'est possible qu'en considérant un triangle ABC dont l'angle A est aigu, et on se dit qu'il vaudrait mieux que tous ses angles soient aigus si on veut achever la démonstration.

Figure 1 :

La figure 2 montre ce qu'il faudrait faire pour élargir le point de vue et obtenir un résultat moins contestable : les paires {côté, hauteur relative à ce côté} sont les paires de bissectrices du triangle orthique.

Figure 2 :

  1. Des alignements définissent des trajectoires de lumière

La figure 3 montre l'alignement des pieds des hauteurs situés sur deux côtés avec les symétriques du pied de la troisième par rapport à ces deux côtés. C'est une conséquence du résultat précédent. On peut " mettre en scène " ce résultat en décrivant un rayon lumineux, issu d'un point situé sur un des côtés du triangle ABC et se réfléchissant sur le premier côté qu'il rencontre : s'il part d'un des sommets du triangle orthique, il en décrit le périmètre, et cette configuration est " minimale ".

Figure 3 :

La figure 4 (réalisée aussi avec un triangle acutangle) montre les deux autres alignements qui pourront être utilisés dans la suite.

Figure 4 :

  1. Composition des trois réflexions par rapport aux trois côtés (AB) puis (BC) puis (CA)

Nous faisons subir ces trois réflexions successives à trois points bien choisis, à suivre sur la figure 5 :

Figure 5 :

  1. De la symétrie axiale à la conjugaison...

Tout ce qui précède utilise des arguments de collège et de seconde, qu'il convient naturellement d'organiser, par exemple dans un devoir en temps libre ou dans des séances de travaux collectifs sous la direction du professeur.
La présentation des nombres complexes en terminale doit faire place à de la géométrie : voici une belle occasion de montrer que, de la même manière que les réflexions engendrent les isométries du plan, la conjugaison des complexes, qui en est l'expression numérique (algébrique, littérale), peut être utilisée (quand on a acquis une certaine dextérité) avec bonheur.
Il faudra commencer par établir quelques formules :

z ' = m - n m - n z + m n - m n m - n

z ' = 1 2 . [ z + m + ( z - m ) m - n m - n ]

z ' = ( c - a i ) ( b + a i ) ( c + a i ) ( b - a i ) z + 2 a [ ( b + c ) a + 2 b c i ] ( c + a i ) ( b - a i )

On pourra alors vérifier, en comparant les deux formules, que cette transformation coïncide avec le produit de la réflexion d'axe (IJ) par la translation de vecteur IJ . Ce peut être aussi l'occasion de calculer la longueur du périmètre p du triangle orthique. Dans la formule :

p = 2 a 2 ( b + c ) a 2 + c 2 a 2 + b 2

on reconnaît les longueurs des côtés du triangle et sa hauteur, ce qui donne à penser qu'on tient sans doute une formule générale qui s'écrirait :

p = 8 S 2 a b c

S désigne l'aire du triangle ABC et a, b, c les longueurs des côtés de ce triangle.