Représentation géométrique du nombre i

I. Un peu d'histoire…

Il peut en effet exister des « objets » dont la définition formelle est irréprochable et permet d'opérer sans problème, mais dont la présentation, par une notation nouvelle, ébranle tout un continent mathématique. Un exemple flagrant est celui de la " redécouverte " des nombres imaginaires par l'introduction du plan.

Gilles Chatelet

Historiquement, la quantité - 1 a été introduite lors de la résolution des équations de degré 3. Ce sont les algébristes italiens du seizième siècle, tels Cardan et Bombelli, qui utilisent les expressions imaginaires, expressions pour lesquelles les techniques opératoires sont bien maîtrisées, mais qui ne sont pas reconnues comme des nombres à part entière.
Plusieurs siècles, chargés de perplexité, s'écoulent avant que « l'imagination » des mathématiciens n'ouvre, pour ces nombres, un champ de représentation adapté : l'approche géométrique, la construction qui légitime...
Il faut ajouter que les nombres négatifs eux-mêmes étaient conceptuellement « suspects ».
C'est en 1806 que Argand, mathématicien suisse, dans son « Essai sur une manière de représenter les quantités imaginaires dans les constructions géométriques », résout d'abord la question de la représentation des nombres négatifs, puis fait émerger les nombres imaginaires, en généralisant sa démarche.

II. Activité sur la représentation géométrique du nombre i suivant l'idée d'Argand

  1. Construction de la moyenne géométrique
    1. Soit ABC un triangle rectangle en A et [AH] la hauteur issue de A de ce triangle.
      On montre que les triangles AHB et CHA sont de même forme et on en déduit la relation AH 2 = AH × HB .

    2. Application : soient a et b deux réels strictement positifs.
      Construire un segment de longueur c tel que c 2 = a b .

      A partir du point O d'une droite donnée D, on reporte sur cette droite, de part et d'autre de O, les distances a et b ce qui donne, sur D, les points A et B.
      On trace ensuite un demi-cercle de diamètre [AB].
      Soit C le point d'intersection de ce demi-cercle et de la droite perpendiculaire en O à D.
      Le triangle BCA est rectangle en C, d'hypoténuse [AB] et de hauteur [OC].
      On a, d'après (a) : OC 2 = OA × OB d'où OC 2 = a b.
      Le segment [OC] répond donc à la question.

  2. Représentation des solutions de l'équation x 2 = a b avec a et b de même signe
    1. Sur une droite graduée D de repère ( O , u ) placer les points A et B d'abscisses respectives a et b.
      Construire ensuite en utilisant 1., les deux points M et N de D dont les abscisses sont les solutions de l'équation x 2 = a b .
      On fera deux figures, illustrant les cas { a > 0 b > 0 puis { a < 0 b < 0 .

      a > 0 et b > 0

      a < 0 et b < 0

      h = a b

      h = a b

    2. Comparer dans chaque cas les angles orientés ( OA , OM ) et ( OM ; OB ) , d'une part, ( OA ; ON ) et ( ON ; OB ) d'autre part.

      En langage moderne et pour les deux situations, on pourrait écrire : il existe un entier relatif k tel que { ( OA ; OM ) = ( OM ; OB ) ( OA ; OM ) = 2 k π et { ( OA ; ON ) = ( ON ; OB ) ( OA ; ON ) = π + 2 k π .

  3. Représentation des solutions de l'équation x 2 = a b avec a et b de signes contraires

  4. Cas particulier fondamental : { a = 1 b = - 1 l'équation s'écrit : x 2 = - 1 .
    L'idée d'Argand est de sortir de la droite.
    On repart de la condition d'angles ( OA ; OM ) = ( OM ; OB ) + 2 k π (avec k ) et on trouve ( OA ; OM ) = π 2 + k π (avec k ).
    " L'objet " i est représenté par le point M.
    Il est une " moyenne proportionnelle " entre 1 et - 1.
    1 i = i - 1 ou "1 est à i ce que i est à - 1".
    C'est à la frontière des registres numérique et géométrique, un nombre, symbole de la perpendicularité, un objet hybride né de l'une des plus importantes fécondations réciproques de l'algèbre et de la géométrie.

Source : Images, Imaginaires, Imaginations, une perspective historique pour l'introduction des nombres complexes, IREM, Editions Ellipses, ISBN 2-7298-4819-3