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Unicité d'une fonction f dérivable sur l'ensemble des nombres réels vérifiant f=f et f(0)=1    ressource 2113

Connaissances préalables

Théorème : Soit f une fonction définie et dérivable sur un intervalle J et soit a, b deux réels tels que, pour tout réel x appartenant à un intervalle I, on ait a x + b J .
La fonction u : x f ( a x + b ) est dérivable sur I et, pour tout x I ,
u ( x ) = a   f ( a x + b ) .

Restitution organisée de connaissances

On admet qu'il existe une fonction f définie et dérivable sur , solution de l'équation différentielle (E) : y = y telle que f ( 0 ) = 1 .

Soit g la fonction définie pour tout x par g ( x ) = f ( x ) f ( - x ) .
La fonction x - x est dérivable sur et f est dérivable sur donc la fonction h : x f ( - x ) est dérivable sur .
g est le produit de deux fonctions dérivables sur donc g est dérivable sur .

Exprimez h ( x ) en fonction de f ( - x ) .

Pour tout x , h ( x ) =