Forme exponentielle d'un nombre complexe non nul

Terminale S, STI2D et STL (SPCL)

Définition 1 (exponentielle complexe)
Soit θ un nombre réel. On pose :

e = cos θ + i sin θ .

Théorème 1
Soit θ 1 et θ 2 deux nombres réels.
Alors :

e i ( θ 1 + θ 2 ) = e 1 e 2 .

Définition 2
Soit r un nombre réel strictement positif et θ un nombre réel.
Soit z le nombre complexe de module r et d'argument θ.
r e est une forme exponentielle de z.

Théorème 2
Un complexe non nul z possède une infinité de formes exponentielles.
Si r e et r e sont deux formes exponentielles de z, alors r = r et il existe un entier relatif k tel que θ = θ + 2 k π .

Théorème 3
Soit z, z 1 , z 2 trois nombres complexes non nuls de formes exponentielles respectives r e , r 1 e 1 et r 2 e 2 .
Alors :

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