Convexité

Terminale ES/L

Définitions
Le plan est muni d'un repère orthogonal ( O ; i , j ) .
Soit I un intervalle de et soit f une fonction dérivable sur l'intervalle I.
On note C la courbe représentative de la fonction f dans le repère ( O ; i , j ) .
La fonction f est dite convexe sur I si et seulement si sa courbe représentative C est entièrement située au-dessus de chacune de ses tangentes.
La fonction f est dite concave sur I si et seulement si sa courbe représentative C est entièrement située en dessous de chacune de ses tangentes.

Remarque
Une fonction qui n'est pas convexe sur I n'est pas nécessairement concave sur I.


Théorème 1
Soit I un intervalle de et soit f une fonction dérivable sur l'intervalle I.
La fonction f est convexe sur I si et seulement si sa fonction dérivée f' est croissante sur I.
La fonction f est concave sur I si et seulement si sa fonction dérivée f' est décroissante sur I.

Théorème 2
Soit I un intervalle de et soit f une fonction deux fois dérivable sur l'intervalle I.
La fonction f est convexe sur I si et seulement si sa fonction dérivée seconde f'' est positive sur I.
La fonction f est concave sur I si et seulement si sa fonction dérivée seconde f'' est négative sur I.

Exemple 1

Exemple 2

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Fonction dérivée
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