Loi hypergéométrique

Postbac

Théorème
Soit N * , k, m et n trois entiers naturels inférieurs ou égaux à N et soit P une population de taille N dans laquelle m individus possèdent un caractère C.
La probabilité p k que k individus choisis simultanément et au hasard dans un échantillon de taille n possèdent le caractère C est donnée par

p k = ( m k ) × ( N - m n - k ) ( N n ) .

Définition
Soit N * , m et n deux entiers naturels inférieurs ou égaux à N et soit P une population de taille N dans laquelle m individus possèdent un caractère C.
Soit X la variable aléatoire donnant le nombre d'individus possédant le caractère C dans un tirage simultané et au hasard de n individus de cette population.
La loi de probabilité suivie par X est appelée loi hypergéométrique de paramètres N, n et m N et notée ( N , n , m N ) .
Pour tout k * ,

p ( X = k ) = ( m k ) × ( N - m n - k ) ( N n ) .

Théorème
Soit N * , m et n deux entiers naturels inférieurs ou égaux à N.
On pose p = m N et q = N - m N .
Soit ( N , n , p ) la loi hypergéométrique de paramètres N, n et p.