Olympiades de première : exercices non retenus pour la session 2012

Exercice 1

Deux billes équivalentes
Pierre présente à Paul un récipient cylindrique de rayon 4 cm et de hauteur 10 cm. Au fond du récipient, il a déposé une bille de verre de rayon 3 cm. Il remplit le récipient d'eau jusqu'à ce que la bille soit juste couverte (la bille repose au fond et affleure à la surface de l'eau). Il annonce à Paul qu'il est capable de remplacer la bille par une bille plus petite, sans changer la quantité d'eau présente dans le récipient et que la bille continuera à affleurer à la surface de l'eau tout en reposant au fond. Sous le regard sceptique de Paul, il réalise le changement de bille. Comment a-t-il fait ?
Paul retourne chez lui pour réfléchir au problème et revient quelques-jour plus tard annoncer à Pierre
- Je suis capable de recommencer ton expérience dans ton même récipient avec une bille de rayon quelconque inférieur à 4 cm. Si j'ai rempli le récipient de telle sorte que ma première bille repose au fond et affleure à la surface de l'eau, je pourrai toujours la remplacer par une bille soit plus petite, soit plus grande qui continuera à affleurer tout en reposant au fond.
- Cela m'étonnerait ! répond Pierre
- Ah oui, bien sûr, il ne faut pas que le rayon de ma bille soit de 2 2 cm.
- Pas seulement…
Qui a raison ?

Exercice 2

Dans le plan on place un carré numéroté 0 que l’on entoure de huit carrés numérotés 1. On continue ainsi en entourant les carrés précédemment placés par des carrés portant un numéro immédiatement supérieur comme le montre la figure ci-dessous pour les premières étapes :
3 3 3 3 3 3 3
3 2 2 2 2 2 3
3 2 1 1 1 2 3
3 2 1 0 1 2 3
3 2 1 1 1 2 3
3 2 2 2 2 2 3
3 3 3 3 3 3 3

  1. Si on continue ainsi, combien y aura-t-il de carrés numérotés 2011 ?
  2. Deux carrés qui ont un côté commun sont dit adjacents.
  3. On munit alors le plan d’un repère orthonormal ( O ; I , J ) de manière à ce que O soit le centre du carré numéroté 0 et que I et J soient les centres de deux carrés numérotés 1 (grisés sur la figure).
  4. On considère le jeu suivant :
    Un pion est placé sur un carré numéroté. Un mouvement consiste a déplacé le pion du carré sur lequel il se trouve sur un carré adjacent à ce dernier. On définit alors le coût (en points) d’un tel mouvement par la moyenne arithmétique des numéros des deux carrés adjacents.
    Ainsi pour déplacer le pion d’un carré numéroté 4 sur un carré numéroté 4, il en coûte 4 points et pour le déplacer d’un carré numéroté 4 sur un carré numéroté 5, il en coute 4,5 points.
    Un trajet entre deux carrés K1 et K2 est une suite de mouvements qui permet de déplacer le pion du carré K1 sur le carré K2. Le coût d’un tel trajet est la somme des coûts de chacun des mouvements qui le composent.
    On note enfin m ( K 1 , K 2 ) le coût minimum des trajets qui permettent de déplacer le pion de K1 sur K2.

Exercice 3

Des 3 pour 2…
Fanny et Thomas s’amusent à réciter la suite des entiers naturels 0 ; 1 ; 2 ; 3 etc. , chacun de façon régulière et monotone, mais pas à la même vitesse. Et arrivés à 9, ils recommencent ensuite à 0.
Un observateur remarque que :

On s’intéresse aux instants auxquels les deux enfants prononcent simultanément un entier.
  1. Démontrer qu’il existe un instant t auquel les deux enfants reprononceront simultanément 0.
    Cet instant est-il unique ?
  2. Existe-t-il un autre même entier prononcé simultanément par les deux enfants à un instant t.
  3. Quels seront les deux entiers prononcés par les deux enfants à t = 2011 secondes ?
  4. Les deux enfants recommencent leurs comptines mais en allant cette fois jusqu’à 6 puis en recommençant alors à 0.
    Existe-t-il des instants t auxquels les deux enfants prononceront le même entier ?
  5. Les deux enfants recommencent leurs comptines mais en allant cette fois jusqu’à l’entier p puis en recommençant alors à 0.
    Existe-t-il des instants t auxquels les deux enfants prononceront le même entier ?

Exercice 4

Soit C un disque de rayon 1.

  1. Montrer qu’on peut placer six disques de rayon 1 en couronne autour de C (figure 1) de sorte que chaque disque soit tangent à deux autres disques de la couronne.
  2. figure 1

  3. On réalise une deuxième couronne avec six disques de rayon R (figure 2). Calculer R.

    figure 2

  4. La figure 2 est inscrite dans un cercle G. On la complète avec six disques tous tangents intérieurement à G et extérieurement à deux cercles de la couronne précédente (figure 3). Calculer le rayon r de ces six cercles.
  5. figure 3