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Sujets non retenus |
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Sujet n°1
ABC est un triangle isocèle rectangle en A.
B' est le symétrique de B par rapport à A.
On appelle E l'ensemble formé par la droite (B'C) privée du point B'.
Pour tout point M de E, on considère le triangle ABM.
- Déterminer et construire l'ensemble parcouru par le centre de gravité G du triangle ABM quand M parcourt E.
- Déterminer et construire l'ensemble parcouru par le centre O du cercle circonscrit au triangle ABM quand M parcourt E.
- Déterminer et construire l'ensemble parcouru par l'orthocentre H du triangle
ABM quand M parcourt E.
On pourra se placer dans le repère .
Sujet n°2
On considère un billard circulaire de centre O et de rayon R.
Une boule, lancée d'un point M strictement intérieur à ce billard, repasse en ce point après s'être sucessivement réflèchie sur le pourtour du billard en trois points distincts A, B et C.
On se propose d'analyser comment le joueur a choisi la direction de lancement de la boule.
Partie A
Eléments de symétrie de la trajectoire
- Démontrez que les points A et C par exemple sont symétriques par rapport à la droite (OB).
- En déduire qu'il existe six angles orientés de mesure .
Partie B
On suppose dans cette partie que les points M, A et C ne sont pas alignés
- Etude de la trajectoire
a. Démontrez que la médiatrice de [MA] et la droite (OA) se coupent en un point P appartenant à [OA].
b. Calculez à l'aide de R et de d ().
- Tracé de la trajectoire
a. Construire P, B, A et C.
b. Quand cette construction est-elle possible ?
c. A quelle condition les trois points M, A et C sont-ils alignés ?
Partie C
On suppose dans cette partie que les points M, A et C ne sont pas alignés.
- Etudiez la trajectoire de la boule.
- Etablir un bilan de cette étude.
Sujet n°3
Peut-on partager un disque en 9 parties d'aires égales, en utilisant uniquement une règle non graduée et un compas ?
Sujet n°4
On désire trouver les deux chiffres qui encadrent la virgule dans l'écriture décimale de : .
- Former une équation du second degré qui admet pour racines et .
- On s'interesse alors à la suite définie sur par .
Etablir que la suite vérifie la relation de récurrence : pour tout de .
Pourquoi est-il un multiple de 10 lorsque est impair ?
- En déduire le chiffre des unités et celui des dixièmes de .
Sujet n°5
ABC est un triangle et P un point intérieur au triangle ABC autre que A, B, C.
Les droites (PA), (PB), (PC) coupent respectivement les côtés [BC] [CA] et [AB] en A', B' et C'.
On note S l'aire du triangle ABC et S' celle de A'B'C'.
Prouver que admet un minimum et un maximum.
Sujet n°6
On considère un triangle ABC et des points D, E et F situés sur les côtés [BC], [CA] et [AB] respectivement.
Les points D, E et F ne sont pas des sommets du triangle, et on suppose que .
Les droites (AD) et (BE) se coupent en I, les droites (BE) et (CF) se coupent en J, les droites (CE) et (AD) se coupent en K.
On pose .
-
Quelle relation les réels b et c vérifient-ils lorsque le point M, barycentre du système de points pondérés {(A,a), (B,b), (C,c)} est un point de la droite (AD) distinct de A ?
-
Définir chacun des points I, J et K comme barycentre des points A, B et C affectés de coefficients exprimés en fonction de .
-
Exprimer le quotient en fonction de .
-
Peut-on trouver tel que les triangles IJK, BJC et CKA aient la même aire ?
![](HTMLFiles/fig1.gif)
Sujet n°7
Une unité de longueur étant choisie, on pose pour la figure ci-dessous :
et .
On désigne par les mesures en radians des angles géométriques marqués sur la figure.
-
Dans le cas où , calculer .
-
Dans le cas où , calculer .
-
Dans le cas où , calculer .
-
Calculer h pour que .
![[Graphics:HTMLFiles/index_1.gif]](HTMLFiles/fig2.gif)
Sujet n°8
On appelle partie entière d'un réel x, et on note , le nombre entier vérifiant : .
A tout entier naturel n non nul, on associe l'entier naturel défini par : et l'entier naturel défini par : .
Montrer que tout entier naturel non nul est un terme d'une des deux suites ainsi définies, et que ces deux suites n'ont aucun terme commun.
Sujet n°9
- Montrer que si les longueurs des côtés de trois polygones semblables sont respectivement proportionnelles à 3, 4 et 5, l'aire du plus grand est la somme des aires des deux autres.
- Montrer que si les longueurs des côtés de quatre polyèdres semblables sont respectivement proportionnelles à 3, 4 , 5 et 6, le volume du plus grand est la somme des volumes des trois autres.
Sujet n°10
Les murs d'un couloir de 1 m font un angle de degrés (). Sur le sol de ce couloir on fait glisser une tige rigide AB d'épaisseur négligeable.
Les données sont représentées sur la figure ci-dessous.
Le repère est orthonormal direct et a est l'abscisse de A.
- Cas où
Calculer en fonction de l'abscisse a du point A.
Quelle est la longueur maximale de la tige AB qu'on peut passer par ce coin de couloir ?
- Cas où
Calculer les coordonnées de I en fonction de .
Calculer les coordonnées de B en fonction de et a.
Calculer en fonction de et a.
Calculer lorsque la droite (OI) est perpendiculaire à (AB).
- Cas où
Calculer en fonction de a.
Vérifier que le polynôme s'annule pour .
Déterminer la longueur maximale de la tige AB qui peut passer par ce coin de couloir.
![](HTMLFiles/fig3.gif)
Sujet n°11
On considère un triangle ABC.
On note et .
On appelle I le centre du cercle inscrit dans ABC.
- Prouver que I est le barycentre de .
- On suppose qu'une droite coupe les segments et respectivement en D et E et que cette droite partage le triangle ABC en deux polygones ADE et DBCE de même périmètre et de même aire.
a. Vérifier que et que .
b. Prouver que la droite (DE) passe par le centre du cercle inscrit dans le triangle ABC.
- Etude du tracé de la droite dans des cas particuliers
a. Prouver que la construction d'une telle droite est impossible lorsque .
b. Tracer la droite dans les cas suivants :
- ABC est un triangle équilatéral
- ABC est un triangle isocèle en B
- ABC est un triangle isocèle en A, et .
- Existence de A dans un cas particulier
Le segment [BC] étant donné, quelles sont les conditions sur pour que le triangle isocèle en A possède une droite répondant au problème ?
En déduire une construction à la règle et au compas de l'ensemble des points A qui conviennent.
Sujet n°12
s, r et t sont trois réels strictement positifs.
et sont deux cercles tangents extérieurement, de rayons respectifs s et t et de centres respectifs B et C.
(C) est un cercle de rayon r et de centre A, tangent extérieurement à et à .
Les trois cercles , et (C) sont tangents respectivement en S, T et R à une droite (D), comme indiqué sur la figure.
- On suppose que .
Exprimer r en fonction de s.
- Dans cette question, s n'est plus nécessairement égal à t.
a. Exprimer la distance ST en fonction de s et t.
b. Déterminer r en fonction de s et t.
![](HTMLFiles/fig4.gif)
- Dans cette question, la distance ST est égale à 1 et .
Le point T est renommé .
On construit une chaîne de cercles (), avec , de la façon suivante :
Le cercle () est tangent à la droite (D) au point et a pour rayon .
La distance est notée .
On a donc et = t = .
La suite u est décroissante et pour tout n supérieur à 1, est tangent à , et (D).
Calculer , et .
Que peut-on conjecturer sur la valeur de ?
Démontrer cette conjecture.
![[Graphics:HTMLFiles/index_2.gif]](HTMLFiles/fig5.gif)