Sujets non retenus  

Sujet n°1

ABC est un triangle isocèle rectangle en A.
B' est le symétrique de B par rapport à A.
On appelle E l'ensemble formé par la droite (B'C) privée du point B'.
Pour tout point M de E, on considère le triangle ABM.

  1. Déterminer et construire l'ensemble parcouru par le centre de gravité G du triangle ABM quand M parcourt E.
  2. Déterminer et construire l'ensemble parcouru par le centre O du cercle circonscrit au triangle ABM quand M parcourt E.
  3. Déterminer et construire l'ensemble parcouru par l'orthocentre H du triangle ABM quand M parcourt E.
    On pourra se placer dans le repère ( A ; AB , AC ) .

 

Sujet n°2

On considère un billard circulaire de centre O et de rayon R.
Une boule, lancée d'un point M strictement intérieur à ce billard, repasse en ce point après s'être sucessivement réflèchie sur le pourtour du billard en trois points distincts A, B et C.
On se propose d'analyser comment le joueur a choisi la direction de lancement de la boule.
Partie A
Eléments de symétrie de la trajectoire

  1. Démontrez que les points A et C par exemple sont symétriques par rapport à la droite (OB).
  2. En déduire qu'il existe six angles orientés de mesure α .

Partie B
On suppose dans cette partie que les points M, A et C ne sont pas alignés

  1. Etude de la trajectoire
    a. Démontrez que la médiatrice de [MA] et la droite (OA) se coupent en un point P appartenant à [OA].
    b. Calculez cos ( OA , OM )  à l'aide de R et de d ( d = OM ).
  2. Tracé de la trajectoire
    a. Construire P, B, A et C.
    b. Quand cette construction est-elle possible ?
    c. A quelle condition les trois points M, A et C sont-ils alignés ?

Partie C
On suppose dans cette partie que les points M, A et C ne sont pas alignés.

  1. Etudiez la trajectoire de la boule.
  2. Etablir un bilan de cette étude.

 

Sujet n°3

Peut-on partager un disque en 9 parties d'aires égales, en utilisant uniquement une règle non graduée et un compas ?

 

Sujet n°4

On désire trouver les deux chiffres qui encadrent la virgule dans l'écriture décimale de : ( 2 + 3 ) 2002 .

  1. Former une équation du second degré qui admet pour racines ( 3 + 2 ) 2 et ( 3 - 2 ) 2 .
  2. On s'interesse alors à la suite ( u n )  définie sur par u n = ( 3 + 2 ) 2 n + ( 3 - 2 ) 2 n .
    Etablir que la suite vérifie la relation de récurrence : u n + 2 - 10 u n + 1 + u n = 0 pour tout n  de .
    Pourquoi u k est-il un multiple de 10 lorsque k est impair ?
  3. En déduire le chiffre des unités et celui des dixièmes de ( 2 + 3 ) 2002 .

 

Sujet n°5

ABC est un triangle et P un point intérieur au triangle ABC autre que A, B, C.
Les droites (PA), (PB), (PC) coupent respectivement les côtés [BC] [CA] et [AB] en A', B' et C'.
On note S l'aire du triangle ABC et S' celle de A'B'C'.
Prouver que S ' S admet un minimum et un maximum.

 

Sujet n°6

On considère un triangle ABC et des points D, E et F situés sur les côtés [BC], [CA] et [AB] respectivement.
Les points D, E et F ne sont pas des sommets du triangle, et on suppose que DB DC = EC EA = FA FB .
Les droites (AD) et (BE) se coupent en I, les droites (BE) et (CF) se coupent en J, les droites (CE) et (AD) se coupent en K.
On pose DB DC = x .

  1. Quelle relation les réels b et c vérifient-ils lorsque le point M, barycentre du système de points pondérés {(A,a), (B,b), (C,c)} est un point de la droite (AD) distinct de A ?

  2. Définir chacun des points I, J et K comme barycentre des points A, B et C affectés de coefficients exprimés en fonction de x .

  3. Exprimer le quotient aire   du   triangle   IJK aire   du   triangle   ABI en fonction de x .

  4. Peut-on trouver x tel que les triangles IJK, BJC et CKA aient la même aire ?

 

Sujet n°7

Une unité de longueur étant choisie, on pose pour la figure ci-dessous :
A 0 A 1 = A 1 A 2 = A 2 A 3 = A 3 A 4 = 1 et A 0 H = h .
On désigne par α 1 , α 2 , α 3 , α 4 les mesures en radians des angles géométriques marqués sur la figure.

  1. Dans le cas où   h = 2 , calculer α 1 + α 2 .

  2. Dans le cas où   h = 1 , calculer α 1 + α 2 + α 3 .

  3. Dans le cas où   h = 5 , calculer α 1 + α 2 + α 3 + α 4 .

  4. Calculer h pour que α 1 + α 2 + α 3 = π .

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Sujet n°8

On appelle partie entière d'un réel x, et on note E ( x ) , le nombre entier vérifiant : E ( x ) x E ( x ) + 1 .
A tout entier naturel n non nul, on associe l'entier naturel u n  défini par : u n = E ( n 2 ) et l'entier naturel v n défini par : v n = E ( n ( 2 + 2 ) ) .
Montrer que tout entier naturel non nul k est un terme d'une des deux suites ainsi définies, et que ces deux suites n'ont aucun terme commun.

 

Sujet n°9

  1. Montrer que si les longueurs des côtés de trois polygones semblables sont respectivement proportionnelles à 3, 4 et 5, l'aire du plus grand est la somme des aires des deux autres.
  2. Montrer que si les longueurs des côtés de quatre polyèdres semblables sont respectivement proportionnelles à 3, 4 , 5 et 6, le volume du plus grand est la somme des volumes des trois autres.

 

Sujet n°10

Les murs d'un couloir de 1 m font un angle de α degrés ( 0 < α < 180 ). Sur le sol de ce couloir on fait glisser une tige rigide AB d'épaisseur négligeable.
Les données sont représentées sur la figure ci-dessous.
Le repère ( O ; i , j ) est orthonormal direct et a est l'abscisse de A.

  1. Cas où  α = 90
    Calculer AB 2 en fonction de l'abscisse a du point A.
    Quelle est la longueur maximale de la tige AB qu'on peut passer par ce coin de couloir ?
  2. Cas où  α 90
    Calculer les coordonnées de I en fonction de α .
    Calculer les coordonnées de B en fonction de α et a.
    Calculer AB 2 en fonction de α et a.
    Calculer AB 2 lorsque la droite (OI) est perpendiculaire à (AB).
  3. Cas où  α = 120
    Calculer AB 2 en fonction de a.
    Vérifier que le polynôme a - 3 a 3 3 + 15 a 2 - 6 a 3 + 8 s'annule pour a = 4 3 3 .
    Déterminer la longueur maximale de la tige AB qui peut passer par ce coin de couloir.

 

Sujet n°11

On considère un triangle ABC.
On note a = AB , b = AC et c = AB .
On appelle I le centre du cercle inscrit dans ABC.

  1. Prouver que I est le barycentre de { ( A , a ) , ( B , b ) , ( C , c ) } .
  2. On suppose qu'une droite Δ coupe les segments [ AB ] et [ AC ] respectivement en D et E et que cette droite partage le triangle ABC en deux polygones ADE et DBCE de même périmètre et de même aire.
    a. Vérifier que AD + AE = a + b + c 2 et que AD × AE = b c 2 .
    b. Prouver que la droite (DE) passe par le centre du cercle inscrit dans le triangle ABC.
  3. Etude du tracé de la droite Δ dans des cas particuliers
    a. Prouver que la construction d'une telle droite Δ est impossible lorsque ( a + b + c ) 2 - 8 b c < 0 .
    b. Tracer la droite Δ dans les cas suivants :
    - ABC est un triangle équilatéral
    - ABC est un triangle isocèle en B
    - ABC est un triangle isocèle en A, a = 10 et b = 11 , 2 .
  4. Existence de A dans un cas particulier
    Le segment [BC] étant donné, quelles sont les conditions sur b a pour que le triangle isocèle en A possède une droite Δ répondant au problème ?
    En déduire une construction à la règle et au compas de l'ensemble des points A qui conviennent.

 

Sujet n°12

s, r et t sont trois réels strictement positifs.
( C 0 ) et ( C 1 ) sont deux cercles tangents extérieurement, de rayons respectifs s et t et de centres respectifs B et C.
(C) est un cercle de rayon r et de centre A, tangent extérieurement à  ( C 0 ) et à  ( C 1 ) .
Les trois cercles ( C 0 ) , ( C 1 ) et (C) sont tangents respectivement en S, T et R à une droite (D), comme indiqué sur la figure.

  1. On suppose que s = t .
    Exprimer r en fonction de s.
  2. Dans cette question, s n'est plus nécessairement égal à  t.
    a. Exprimer la distance ST en fonction de s et t.
    b. Déterminer r en fonction de s et t.
  3. Dans cette question, la distance ST est égale à 1 et s = t = 1 2 .
    Le point T est renommé  T 1 .
    On construit une chaîne de cercles ( C n ), avec n 1 , de la façon suivante :
    Le cercle ( C n ) est tangent à la droite (D) au point T n et a pour rayon r n .
    La distance ST n est notée u n .
    On a donc u 1 = ST 1 = 1 et r 1 = t = r 1 = t = 1 2 .
    La suite u est décroissante et pour tout n supérieur à 1, ( C n + 1 ) est tangent à  ( C 0 ) , ( C n ) et (D).
    Calculer u 2 , u 3 et u 4 .
    Que peut-on conjecturer sur la valeur de u n ?
    Démontrer cette conjecture.
    [Graphics:HTMLFiles/index_2.gif]