Olympiades de première : exercices non retenus pour la session 2009

Exercice 1

On cherche à déterminer les carrés parfaits dont l'écriture décimale se finit par deux chiffres identiques.
Soit N un entier naturel admettant k comme chiffre des unités.

1. 1. Démontrer que $N^2$ et $k^2$ et ont le même chiffre des unités.
   2. En déduire qu'un carré d'un entier se termine par 0 ; 1 ; 4 ; 5 ; 6 ou 9.
2. 1. Démontrer que le chiffre des dizaines de $N^2$ est pair sauf si $N^2$ finit par un 6.
   2. En déduire que les carrés dont les deux derniers chiffres sont égaux se terminent par 00 ou 44.
3. Quels sont les nombres dont le carré finit par 00 ?
4. On suppose que $N^2$ finit par 44.
   Démontrer que les entiers dont le carré se finit par 44 sont du type $N=50p-12$ ou $N=50p+12$ où p est un entier naturel.

Exercice 2

On imagine de changer les pièces de monnaie de la Zone Euro et de ne plus utiliser que trois types de pièces, de respectivement a, b et c centimes d'euro, a, b et c désignant des entiers naturels non nuls distincts (on prendra $a<b<c$) inférieurs ou égaux à 99.
Avec plusieurs de ces pièces, on doit pourvoir atteindre exactement toute somme comprise entre 1 centimes et 99 centimes. De plus, les valeurs faciales a, b et c doivent être choisies de telle sorte qu'une personne prévoyante doit pouvoir payer toute somme inférieure ou égale à 99 centimes en n'emportant qu’un nombre minimal de pièces.

1. Quelle est la valeur de a ?
2. On suppose que l'on possède x pièces de a centimes, y pièces de b centimes et z pièces de c centimes.
   Prouver que, pour être sûr de régler toute somme comprise en 1 et 99 centimes, il faut que $x+y+z\ge 11$.
3. Donner des valeurs de a, b et c de telle sorte qu'on puisse effectivement payer n'importe quelle somme comprise entre 1 et 99 centimes avec 11 pièces.
4. Existe-t-il des valeurs convenables autres ?

Exercice 3

Une salle de classe rectangulaire est formée d'un mur de 7,2 m de long orienté à l'ouest et portant le tableau et d'un mur de 10 m de long orienté au sud et muni de quatre fenêtres de 1,6 m de large également réparties de telle sorte que les centres des fenêtres sont respectivement à 2, 4, 6 et 8 m du mur ouest.

1. Dans la journée, une tache de lumière provenant d'une des fenêtres se dessine au centre du mur portant le tableau. Cette tache a pour largeur 1,44 m.
   Devant quelle fenêtre faut-il tirer le rideau pour faire disparaître la tache ?
2. Durant la journée, une tache de lumière provenant de la seconde fenêtre à partir du mur ouest se déplace le long des murs ouest, nord puis est. On appelle x la distance en mètres par le bord gauche de la tache (on suppose que x parcourt l’intervalle $\left[0;24,4\right]$).
   On appelle $l\left(x\right)$ la largeur de la tache de lumière correspondante. Lorsque la tache est à cheval sur deux murs, sa largeur est comptée comme la somme des largeurs des taches sur les deux murs.
   Comment varie $l\left(x\right)$ en fonction de x ?

Exercice 4

Un jeu oppose deux joueurs A et B. On dispose de trois tas contenant n, p et q pions. Chaque joueur choisit à tour de rôle un des trois tas et retire de ce tas un certain nombre de pions (au moins un). Le joueur qui retire le dernier pion du jeu a perdu.
L'état des effectifs de pions par tas est représenté par un triplet $\left(n,p,q\right)$ appelé configuration. Une configuration est dite perdante si le joueur devant jouer à partir d'elle est sûr de perdre quels que soient ses choix si son adversaire agit au mieux. Les configurations $\left(0,0,1\right)$ et $\left(1,1,1\right)$ sont des configurations perdantes.

1. La configuration $\left(1,2,3\right)$ est-elle perdante ?
2. Soit n un entier naturel non nul. La configuration $\left(0,n,n\right)$ est-elle perdante ?
3. Démontrer que, pour tout entier non nul n, la configuration $\left(1,2n,2n+1\right)$ est perdante.
4. Dans la configuration $\left(2,4,6\right)$, le joueur peut-il gagner contre toute défense ?
5. Même question avec $\left(3,5,7\right)$ ?