\documentclass[10pt,a4paper]{article}
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% document. Il contiennent les definitions de certains symboles.

\usepackage{amsmath}  %gestion des symboles mathématiques
\usepackage[french]{babel}   %gestion du francais
\usepackage{amsfonts} %gestion des fontes mathématiques
\usepackage{amssymb}  %gestion des symboles mathématiques
\usepackage[T1]{fontenc} %gestion des caractères accentués

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% Les packages suivants ne sont pas indispensables. Il permettent d'améliorer
% la mise en page, d'insérer des décorations ou des images, de changer la police
% du texte. Ils définissent aussi certaines macros.
% Ils sont soit activés, soit désactivés en fonction des choix effectués par
% l'auteur. Un % devant la ligne correspondante désactive le package.

%\usepackage[]{palatino,euler} %changement des fontes par défaut
\usepackage{graphicx} %gestion des graphiques en postcript
\usepackage{fancybox} %gestion des encadrements
%\usepackage{lastpage} %gestion du nombre total de pages du document
\usepackage[latin1]{inputenc}
%\usepackage{times} %règle la police de caractère utilisée dans le document
\usepackage{color} 
\usepackage{enumerate}
\usepackage{geometry} %gestion des marges du document
\geometry{ hmargin=2.0cm, vmargin=1.5cm }%fixe la marge horizontale à 2,0cm, et la marge verticale à 1,5cm


\usepackage{fancyhdr} %gestion des entetes et des pieds de page
\usepackage{multicol} %gestion du multicolonnage

%\usepackage{pstricks,pstricks-add,pst-math,pst-xkey}

\pagestyle{empty}
\usepackage{pstricks,pstricks-add,pst-plot,pst-text,pst-tree,pst-eps,pst-fill,pst-node,pst-math,pst-xkey}

\usepackage{pgf}
\usepackage{xcolor,rotating,epic,eepic} %pour TeXgraph

% 3========================================================================
% commandes personnelles

%Pour appeler les macros ci-dessous, taper la commande correspondante à l'endroit où on  désire l'utiliser. 
\renewcommand{\thesection}{\Roman{section}} %si on veut une autre énumération des sections 
\renewcommand{\thesubsection}{\thesection  \Roman{subsection}} 
\renewcommand{\thesubsubsection}{\thesubsection \arabic{subsubsection}}
\renewcommand{\theparagraph}{\thesubsubsection \alph{paragraph}}
%\renewcommand{\labelenumi}{{\bf{\arabic{enumi}}/}}
\newcommand{\reel}{\mthbb{\R}} %(commande : \reel)
%\renewcommand{\labelenumii}{{\bf{\alph{enumii}}.}}
%\newcommand{\myvec}[1]{\overrightarrow{\strut #1}}
%\renewcommand{\overrightarrow}[1]{\overrightarrow{\strut #1}}

% Les 4 commandes  suivantes permettent une numérotation automatique des exos
\newcounter{num}
\renewcommand{\thenum}{\arabic{num}}
\newcommand{\exo}{\addtocounter{num}{1}{\noindent \textbf{Exercice~\thenum~}}}
\newenvironment{exercice}{\exo}{\vskip 0.5cm} % faire alors \begin{exercice} (pas d'item) \end{exercice}
%\newcommand{\up}[1]{\raisebox{1ex}{\small{#1}}}					
% \newenvironment{corrige}[0]%
% { \underline{corrig\'{e}}
% \footnotesize}{\normalsize}
\newtheorem{theo}{Th\'{e}or\`{e}me}
\newtheorem{propriete}{Propri\'{e}t\'{e}}
\newtheorem{mydef}{D\'{e}finition}
%\newtheorem{demo}{D\'{e}monstration}
\newtheorem{lemme}{Lemme}
%\newtheorem{recip}{Réciproque}
\title{\textbf{Pépinière de Mathématiques} \\
\begin{normalsize}Versailles, 29 et 30 avril 2010\end{normalsize}}
%\author{} %pas de nom
\date{}% pas de date
\definecolor{gris25}{gray}{0.75}
\begin{document}

\pagestyle{fancy} % en-tête
\lhead{Pépinière de Mathématiques} % A gauche de l'en-tête
%\chead{Pépinière de Mathématiques}
\rhead{Versailles, 29 et 30 avril 2010} % A droite
%\lfoot{pied de page gauche} 
%\cfoot{\thepage/\pageref{LastPage}}% pour avoir le nbre de pages en pied de page centré
%\rfoot{pied de page droit}
\maketitle
%\input tabvar




\begin{center}
\section*{Fonctions}
\end{center}



\begin{exercice}\\
Soit $f$ la fonction qui, à la hauteur $x$  du liquide  associe son volume dans la cuve.\\
$f$ est définie sur l'intervalle $ \left[0;2,8 \right]  $ par :
$\left\lbrace \begin{array}{l}
f(x)=\dfrac{\pi}{3}x^{2}(1,2-x)\:\mathrm{pour}\: 0\leqslant x\leqslant 0,4\\
f(x)=0,64\dfrac{\pi}{3}+0,16\pi(x-0,4)^{2}\:\mathrm{pour}\: 0,4 < x\leqslant 2,4\\
f(x)=0,64\dfrac{\pi}{3}+0,64\pi+\dfrac{\pi}{3}(x-2,4)^{2}(3,6-x)\:\mathrm{pour}\: 2,4< x\leqslant 2,8\end{array}\right.$
\begin{center}

\newrgbcolor{qqqqqq}{0 0 0}
\psset{xunit=0.5cm,yunit=0.5cm}
\begin{pspicture*}(-0.63,-1.53)(15.86,12.65)
\psgrid[subgriddiv=0,gridlabels=0,gridcolor=gray](0,0)(-0.63,-1.53)(15.86,12.65)
\psset{xunit=2.0cm,yunit=2.0cm,algebraic=true,dotstyle=*,dotsize=3pt 0,linewidth=0.8pt,arrowsize=3pt 2,arrowinset=0.25}
\psaxes[xAxis=true,yAxis=true,Dx=1,Dy=1,ticksize=2pt,subticks=0]{-}(0,0)(-0.31,-0.31)(3.43,3.06)

\psplot[plotpoints=200]{0.0}{0.4}{3.14159/3*x^2*(1.2-x)}
\psplot[plotpoints=200]{0.4}{2.4}{0.13*3.14159/3+0.16*3.14159*(x-0.4)^2}
\psplot[plotpoints=200]{2.4}{2.8}{0.13*3.14159/3+0.64*3.14159+3.14159/3*(x-2.4)^2*(3.6-x)}
\psline{->}(0,0)(1,0)
\psline{->}(0,0)(0,1)
\rput[tl](0.46,0.07){$ \vec{ i } $}
\rput[tl](-0.11,0.72){$ \vec{ j } $}
\psdots(0.4,0.13)
\rput[bl](0.44,0.2){$A$}
\psdots(2.4,2.14)
\rput[bl](2.45,2.2){$B$}
\psdots(2.8,2.28)
\rput[bl](2.85,2.34){$C$}
\psdots(0,0)
\rput[bl](0.04,0.06){$O$}
\end{pspicture*}
\end{center}
\end{exercice}


\begin{exercice}\\
En marchant à la vitesse de $5 km/h$ l'homme met 24 min pour rejoindre sa maison située à 2 km du premier point de rencontre.
En 24 min, à la vitesse de 15 km/h, le chien parcourt 6 km.

\end{exercice}
%\begin{minipage}[c]{8 cm}
%\end{minipage}
\begin{exercice}\\
Soit $f$ la restriction dà l'intervalle $\left[ 0,1\right] $ de la fonction $ x\mapsto x^{2}-2bx-1 $.\\
La parabole d'équation $y=x^{2}-2bx-1$ a poiur sommet le point S de coordonnées $(b,-b^{2}-1)$.
Quatre cas sont à envisager.\\
On notera respectivement $m$  et $M$ les minimum et maximum de $f$ sur l'intervalle $\left[ 0,1\right] $ et $\delta$ l'écart entre $m$ et $M : \delta=M-m$.
\begin{multicols}{2}
\noindent Premier cas : $ b\leqslant 0$.\\
$m=f(0)=-1,M=f(1)=-2b,\delta=-2b+1$.\\
Pour $b$ inférieur à 0 :\\
$ -2b+1=1 $ si et seulement si $b=0$.\\
\newrgbcolor{ffqqtt}{1 0 0.2}
\psset{xunit=0.8cm,yunit=0.8cm}
\begin{pspicture*}(-2.025,-2.626)(2.493,2.577)
\psgrid[subgriddiv=0,gridlabels=0,gridcolor=lightgray](0,0)(-2.025,-2.626)(2.493,2.577)
\psset{xunit=0.8cm,yunit=0.8cm,algebraic=true,dotstyle=*,dotsize=3pt 0,linewidth=0.8pt,arrowsize=3pt 2,arrowinset=0.25}
\psaxes[xAxis=true,yAxis=true,Dx=1,Dy=1,ticksize=-2pt 0,subticks=0]{->}(0,0)(-2.025,-2.626)(2.493,2.577)
\psline(5.919,5.194)(9.035,5.194)
\psplot[linestyle=dashed,dash=2pt 2pt,plotpoints=200]{-2.0246337020047105}{2.4925140308196654}{x^2-2*(-1.2)*x-1}
\psplot[linewidth=2pt,linecolor=ffqqtt,plotpoints=200]{0.0}{1.0}{x^2-2*(-1.2)*x-1}
\psplot[linecolor=blue]{-2.025}{2.493}{(-1.44-0*x)/1}
\psline{->}(0,0)(1,0)
\psline{->}(0,0)(0,1)
\psline(-1.2,-2.44)(-1.2,-1.44)
\psdots(7.103,5.194)
\rput[bl](6.76,5.536){$b = -1.2$}
\psdots[dotsize=1pt 0,linecolor=blue](-1.2,-1.44)
\rput[bl](-1.09,-1.38){\blue{$H$}}
\psdots[dotsize=1pt 0,linecolor=darkgray](0,0)
\rput[bl](0.125,0.053){\darkgray{$O$}}
\psdots[dotsize=2pt 0,dotstyle=*,linecolor=ffqqtt](-1.2,-2.44)
\rput[bl](-1.09,-2.314){\ffqqtt{$S$}}
\end{pspicture*}\\


\noindent Deuxième cas : $0\leqslant b\leqslant 0,5$.\\
$m=f(b)=-b^{2}-1,M=f(1)=-2b,\delta=(b-1)^{2}$.\\
Pour $b$ compris entre 0 et 0,5 :\\
$ (b-1)^{2}=1 $ si et seulement si $b=0$.\\
\begin{pspicture*}(-1.059,-1.971)(3.053,1.985)
\psgrid[subgriddiv=0,gridlabels=0,gridcolor=lightgray](0,0)(-1.059,-1.971)(3.053,1.985)
\psset{xunit=0.8cm,yunit=0.8cm,algebraic=true,dotstyle=*,dotsize=3pt 0,linewidth=0.8pt,arrowsize=3pt 2,arrowinset=0.25}
\psaxes[xAxis=true,yAxis=true,Dx=1,Dy=1,ticksize=-2pt 0,subticks=0]{->}(0,0)(-1.059,-1.971)(3.053,1.985)
\psline(5.919,5.194)(9.035,5.194)
\psplot[linestyle=dashed,dash=2pt 2pt,plotpoints=200]{-1.0588986694698437}{3.053263404549588}{x^2-2*0.9*x-1}
\psplot[linewidth=2pt,linecolor=ffqqtt,plotpoints=200]{0.0}{1.0}{x^2-2*0.9*x-1}
\psplot[linecolor=blue]{-1.059}{3.053}{(-0.81-0*x)/1}
\psline{->}(0,0)(1,0)
\psline{->}(0,0)(0,1)
\psline(0.9,-1.81)(0.9,-0.81)
\psdots(7.757,5.194)
\rput[bl](7.415,5.536){$b = 0.9$}
\psdots[dotsize=1pt 0,linecolor=blue](0.9,-0.81)
\rput[bl](1.028,-0.756){\blue{$H$}}
\psdots[dotsize=1pt 0,linecolor=darkgray](0,0)
\rput[bl](0.125,0.053){\darkgray{$O$}}
\psdots[dotsize=2pt 0,dotstyle=*,linecolor=ffqqtt](0.9,-1.81)
\rput[bl](1.028,-1.691){\ffqqtt{$S$}}
\end{pspicture*}
\end{multicols}
\begin{multicols}{2}

%\begin{center}

\noindent Troisième cas : $0,5\leqslant b\leqslant 1$.\\
$m=f(b)=-b^{2}-1,M=f(0)=-1,\delta=b^{2}$.\\
Pour $b$ compris entre 0,5 et 1 :\\
$ b^{2}=1 $ si et seulement si $b=1$.\\
%\newrgbcolor{ffqqtt}{1 0 0.2}
\psset{xunit=0.8cm,yunit=0.8cm}
\begin{pspicture*}(-2.027,-2.08)(3.948,3.041)
\psgrid[subgriddiv=0,gridlabels=0,gridcolor=lightgray](0,0)(-2.027,-2)(3.948,3.041)
\psset{xunit=0.8cm,yunit=0.8cm,algebraic=true,dotstyle=*,dotsize=3pt 0,linewidth=0.8pt,arrowsize=3pt 2,arrowinset=0.25}
\psaxes[xAxis=true,yAxis=true,Dx=1,Dy=1,ticksize=-2pt 0,subticks=0]{->}(0,0)(-2.027,-2)(3.948,3.041)
\psline(5.902,5.109)(8.734,5.109)
\psplot[linestyle=dashed,dash=2pt 2pt,plotpoints=200]{-2.027465769548802}{3.94819674848219}{x^2-2*0.8*x-1}
\psplot[linewidth=2pt,linecolor=ffqqtt,plotpoints=200]{0.0}{1.0}{x^2-2*0.8*x-1}
\psplot[linecolor=blue]{-2.027}{3.948}{(-0.64-0*x)/1}
\psline{->}(0,0)(1,0)
\psline{->}(0,0)(0,1)
\psline(0.8,-1.64)(0.8,-0.64)
\psdots(7.545,5.109)
\rput[bl](7.233,5.42){$b = 0.8$}
\psdots[dotsize=1pt 0,linecolor=blue](0.8,-0.64)
\rput[bl](0.918,-0.584){\blue{$H$}}
\psdots[dotsize=1pt 0,linecolor=darkgray](0,0)
\rput[bl](0.125,0.068){\darkgray{$O$}}
\psdots[dotsize=2pt 0,dotstyle=*,linecolor=ffqqtt](0.8,-1.64)
\rput[bl](0.918,-1.518){\ffqqtt{$S$}}
\end{pspicture*}\\


\noindent Quatrième cas : $1\leqslant b$.\\
$m=f(1)=-2b,M=f(0)=-1,\delta=2b-1$.\\
Pour $b$ supérieur à 1 : $2b-1=1 $ \\
 si et seulement si $b=1$.\\

\begin{pspicture*}(-1.348,-3.274)(3.807,1.484)
\psgrid[subgriddiv=0,gridlabels=0,gridcolor=lightgray](0,0)(-1.348,-3.274)(3.807,1.484)
\psset{xunit=0.8cm,yunit=0.8cm,algebraic=true,dotstyle=*,dotsize=3pt 0,linewidth=0.8pt,arrowsize=3pt 2,arrowinset=0.25}
\psaxes[xAxis=true,yAxis=true,Dx=1,Dy=1,ticksize=-2pt 0,subticks=0]{->}(0,0)(-1.348,-3.274)(3.807,1.484)
\psline(5.902,5.109)(8.734,5.109)
\psplot[linestyle=dashed,dash=2pt 2pt,plotpoints=200]{-1.3477695589670775}{3.806593371277664}{x^2-2*1.3*x-1}
\psplot[linewidth=2pt,linecolor=ffqqtt,plotpoints=200]{0.0}{1.0}{x^2-2*1.3*x-1}
\psplot[linecolor=blue]{-1.348}{3.807}{(-1.69-0*x)/1}
\psline{->}(0,0)(1,0)
\psline{->}(0,0)(0,1)
\psline(1.3,-2.69)(1.3,-1.69)
\psdots(7.687,5.109)
\rput[bl](7.375,5.42){$b = 1.3$}
\psdots[dotsize=1pt 0,linecolor=blue](1.3,-1.69)
\rput[bl](1.399,-1.632){\blue{$H$}}
\psdots[dotsize=1pt 0,linecolor=darkgray](0,0)
\rput[bl](0.125,0.068){\darkgray{$O$}}
\psdots[dotsize=2pt 0,dotstyle=*,linecolor=ffqqtt](1.3,-2.69)
\rput[bl](1.399,-2.566){\ffqqtt{$S$}}
\end{pspicture*}


%\end{center}
\end{multicols}
\end{exercice}

\begin{exercice}\\
On cherche à détemier les fonctions $f$  définies sur \textbf{N} telle que, pour tout entier naturel $n$,\\
$f(n)+f\left( f(n)\right) + f \left( f\left( f(n)\right) \right) =3n $.\\
Soit $n$ un entier naturel donné. On appellera $P_{n}$ la propriété $f(n)+f\left( f(n)\right) + f \left( f\left( f(n)\right) \right) =3 $

\noindent Lemme \textbf{(L)}\\
Si une telle fonction existe, deux naturels distincts ont des images distinctes par $f$.\\
Cela  revient à démontrer, par contraposition que : Si $ f(n)=f(m) $ alors $m=n$.\\
\textbf{Démonstration}\\
Si $f(m)=f(n)$, alors :
$f(n)+f\left( f(n)\right) + f \left( f\left( f(n)\right) \right)=f(m)+f\left( f(m)\right) + f \left( f\left( f(m)\right) \right)$. Donc $3n=3m$ d'où $m=n$.
On en déduit que si $m\neq n$, alors $f(m) \neq f(n)$.
\begin{enumerate}
\item Supposons qu'il existe une fonction $f$ vérifiant pour tout $n$ la propriété $P_{n}$.
\begin{enumerate}
\item Calcul de $f(0)$\\
$f(0)+f\left( f(0)\right) + f \left( f\left( f(0)\right) \right)=0$. La somme de trois entiers naturels est nulle si et seulement si chacun des termes de cette somme est nul. D'où : $f(0)=0$.
\item Calcul de $f(1)$\\
D'après \textbf{(L)}, $f(1)\neq 0)$. Donc $f(1) \geqslant 1$. Comme $f(1)\neq 0), f\left( f(1)\right) \neq 0)$ et  $f \left( f\left( f(1)\right) \right)\neq 0$. D'où : $f(1)+f\left( f(1)\right) + f \left( f\left( f(1)\right) \right)\geqslant 3$.
On en déduit que $f(1)=1$ (sinon, on aurait $f(1)+f\left( f(1)\right) + f \left( f\left( f(1)\right) \right)> 3$, ce qui est contraire à l'hypothèse.
\item Calcul de $f(n)$\\
Soit $m$ un entier naturel donné. Supposons que nous ayons établi que,pour tous les entiers $k$ compris entre 0 et $m, f(k)=k$ .
Calculons $f(m+1)$. D'après \textbf{(L)}, l'image de $m+1$ par $f$ ne peut être égale ni à 0, ni à 1,$ \cdots $, ni à $m$.
Donc $f(m+1)\geqslant m+1$. On en déduit que l'image par $f$ de $f(m+1)$ ne peut être égale ni à 0, ni à 1,$ \cdots $, ni à $m$. Il en est de même pour l'image de $f\left( f(m+1)\right)$. Donc $f\left( f(m+1)\right)\geqslant m+1$ et $ f \left( f\left( f(m+1)\right) \right)\geqslant m+1$. Par conséquent : $f(m+1)+f\left( f(m+1)\right) + f \left( f\left( f(m+1)\right) \right)\geqslant 3(m+1)$.
D'où $f(m+1)=m+1$ (sinon $f(m+1)+f\left( f(m+1)\right) + f \left( f\left( f(m+1)\right) \right)> 3(m+1)$ qui est contraire à l'hypothèse :
Pour tout entier naturel $n,f(n)+f\left( f(n)\right) + f \left( f\left( f(n)\right) \right) =3n$).
\end{enumerate}
\textbf{En conclusion}
 Si, pour tout entier naturel $n,f$ vérifie la propriété $P_{n}$, alors $f(n)=n$.
\item On vérifie réciproquement que la fonction définie sur \textbf{N} par :$f(n)=n$ a la propriété $P_{n}$ pour tout $n$ .
\end{enumerate}
Il existe donc une fonction unique définie sur \textbf{N} et vérifiant pour tout $n$ la propriété $P_{n}$.\\
 Il s'agit de la fonction identité.

\end{exercice}

\begin{exercice}\\
On suppose qu'il existe une fonction définie sur \textbf{R} telle que :$\left\lbrace \begin{array}{l}
f(4)=10\\
f(x+y)=f(x)+f(y)+xy\:\mathrm{pour\:tous \: r\acute{e}els}\: x \mathrm{\:et\:} y\\
\end{array}\right.$
\begin{enumerate}
\item Avec $x=y=0$, on a : $f(0)=2f(0)$ d'où $f(0)=0$.
\item Posons $a=f(1)$. Avec $x=1=1$, on obtient : $f(2)=2a+1$ puis, en remplaçant $x$ et $y$ par 2: $f(4)=2f(2)+4$ d'où $f(4)=4a+6$.
Sachant que $f(4)=10$, on en déduit que $a=1$ d'où $f(1)=1,f(2)=3$
\item Soit $n$ un entier naturel. En remplaçant $x$ par $n$ et $y$ par 1, on a : $f(n+1)=f(n)+1+n$ d'où $f(n+1)-f(n)=n+1$.
\item Calcul de $f(2010)$.\\
Considérons la somme $S=\left( f(2010)-f(2009)\right) +\left( f(2009)-f(2008)\right) +\left( f(2008)-f(2007)\right) +\cdots++\left( f(2)-f(1)\right) +\left( f(1)-f(0)\right)$.\\
D'une part, cette somme est égale à $f(2010-f(0)$ et d'autre part à $2010+2009+\cdots+2+1$.\\
D'où $f(2010=\dfrac{2010 \times 2011}{2}$=2 210 055.

\end{enumerate}

\textbf{En conclusion :}
Si une telle fonction $f$ existe, alors $f$(2 010)=2 210 055.
\end{exercice}

\begin{exercice}\\
On cherche à déterminer les entiers naturels non nuls $m$ et $n$ tels que : $ \dfrac{1}{m} +\dfrac{4}{n}=\dfrac{1}{12}$ et $n$ impair.\\
Comme $ \dfrac{1}{m }$ et $\dfrac{4}{n}$ sont deux termes strictement positifs dont la somme est $\dfrac{1}{12}$, 
chacun est donc strictement compris entre 0 et $\dfrac{1}{12}$. D'où $ m>12 $ et $ n>48 $.

Si $ \dfrac{1}{m} +\dfrac{4}{n}=\dfrac{1}{12}$ alors $n((m-12)=48m\quad$ \textbf{(E)}
48 est divisible par 16 (=$ 2^{4} $) et $n$ est impair. Donc $(m-12)$ est divisible par 16 : Il existe un entier $k$ tel que $m-12=16k$.\\
\textbf{(E)} devient: $nk=12(3+4k)\quad$ \textbf{(E')}.\\
12 est divisible pa 4 et, comme$ n$ est impair, on en déduit que $k$ est divisible par 4 : Il existe un entier $k'$ tel que $k=4k'$.\\
\textbf{(E')} devient :$nk'=3(3+16k')$ soit $nk'=9+48k'$.\\
$k'$ n'est pas nul (sinon $k=0$ donc $m=12$ et on a établi précedemment que $m>12$.
En divisant les deux membres de $nk'=9+48k'$ par $k'$, on obtient $n=\dfrac{9}{k'}+48$.

Comme $n$ et 48 sont des entiers, $\dfrac{9}{k'}$ est un entier.
De plus, $ m>48$ et $m=12+48k'$ donc $k'$ est un entier naturel non nul qui divise 9. \\
$k' \in \left\lbrace1,3,9\right\rbrace $.\\
Si $k'=1, n=49$ et $m=588$; si $k'=3, n=51$ et $m=204$; Si $k'=9, n=57$ et $m=76$.
On vérifie, réciproquement, que les trois couples $ (n,m) $ ci-dessus sont tels que $ \dfrac{1}{m} +\dfrac{4}{n}=\dfrac{1}{12}$.
Il y a donc trois couples $ (n,m) $ d'entiers naturels solutions de \textbf{(E)}.
\end{exercice}

\begin{exercice}\\
Supposons $ a<b<c<d<e $.
Les dix sommes $a+b,a+c,a+d,a+e,b+c,b+d,b+e,c+d,c+e,d+e$ ont pour somme $S=4(a+b+c+d+e)$.\\
Or $S=21+26+35+40+49+51+54+60+65+79=480$. Donc $a+b+c+d+e=120$.
La plus grande somme des nombres pris deux à deux est $d+e$, la plus petite est $a+b$. On en déduit que :
$d+e=79, a+b=26$ d'où $c=(a+b+c+d+e)-(a+b)-(d+e)=20$.
La deuxième des dix sommes par ordre croissant est $a+c$. Donc $a+c=26$ d'où $a=6$. Comme  $a+b=21, b=15$ et $b+c=35$.
La plus petite des sommes restantes est 40 d'une part, d'autre part, un des nombres $a+d,a+e,b+d,b+e,c+d,c+e$. Le plus petit nombre de cet ensemble est $a+d$. Donc $a+d=40$ d'où $d=34$.
On en déduit $b+d=49,c+d=54$. La plus petite des sommes restante est 51 d'une part, $a+e$ d'autre part : $a+e=51$ d'où $e=45, b+e=60, c+e=65$.
Finalement $a=6,b=15,c=20,d=34,e=45$.

\end{exercice}
\begin{exercice}\\
\begin{enumerate}
\item Pour cet exercice, on admet les propriétés suivantes :
\begin{enumerate}
\item Pour tous réels $m$, l'équation (d'inconnue $x$), $x^{3}=m$ a une solution réelle unique. Elle est notée $ \sqrt[3]{m} $. 
Pour tous réels $x$ et $m, \left( x^{3}=m\right) $ équivaut à $ \left(x= \sqrt[3]{m}\right) $.\\
Exemples: $ \sqrt[3]{8}=2, \sqrt[3]{-27}=-3 $.
\item Pour tous réels $A$ et $B, \sqrt[3]{AB} = \sqrt[3]{A}\sqrt[3]{B}$.\\
On a une propriété analogue pour les quotients.
\end{enumerate}

\item Pour tous réels $A$ et $B : \left( A+B \right) ^{3}=A^{3}+3A^{2}B+3AB^{2}+B^{3}$.\\
$\left( A+B \right) ^{3}=A^{3}+B^{3}+3AB(A+B)$
\item Soit $N=\sqrt[3]{5+2\sqrt{13}}+\sqrt[3]{5-2\sqrt{13}}$.
Posons $A=\sqrt[3]{5+2\sqrt{13}}$ et $B=\sqrt[3]{5-2\sqrt{13}}$.
$N=A+B$ donc $N^{3}=A^{3}+B^{3}+3AB(A+B)$ soit $N=A^{3}+B^{3}+3ABN$.\\
Or $A^{3}=5+2\sqrt{13}$ et $B^{3}=5-2\sqrt{13}$ donc $A^{3}+B^{3}=10$.\\
$AB=\sqrt[3]{(5-2\sqrt{13})(5+2\sqrt{13})}=\sqrt[3]{(5^{2}-\left( 2\sqrt{13}\right) ^{2})}$.\\
Donc $AB=\sqrt[3]{-27}$ soit $AB=-3$. On en déduit que $N^{3}=10-9N$.\\
$N$ est donc solution de l'équation $x^{3}+9x-10=0$.
\item Résolution de l'équation $x^{3}+9x-10=0$.\\
1 est un solution de cette équation, mais y en a-t-il d'autres ?\\
Une représentation graphique de la fonction $ x\mapsto x^{3}+9x-10 $ permet de conjecturer l'unicité de cette solution.
Démontrons le algébriquement en "forçant" la factorisation par $(x-1)$ dans l'expression $x^{3}+9x-10$.\\
Pour tout réel $x, x^{3}+9x-10=x^{3}-1+1+9x-10$ donc $x^{3}+9x-10=(x^{3}-1)+9(x-1))$.\\
Or $x^{3}-1=(x-1)(x^{2}+x+1)$ donc, pour tout  $x, x^{3}+9x-10=(x-1)(x^{2}+x+10)$.\\
Par conséquent $\left( x^{3}+9x-10=0\right) $ équivaut à ($x-1=0$ ou $x^{2}+x+10=0$).\\
$x^{2}+x+10=\left(x+\dfrac{1}{2} \right) ^{2}-\dfrac{1}{4}+10$ soit
 $x^{2}+9x+10=\left(x+\dfrac{1}{2} \right) ^{2}+\dfrac{39}{4}$.\\
Comme, pour tout $x, \left(x+\dfrac{1}{2} \right) ^{2}\geqslant 0, \left(x+\dfrac{1}{2} \right) ^{2}+\dfrac{39}{4}\geqslant \dfrac{39}{4}$.\\
L'équation $x^{2}+x+10=0$ n'a donc pas de solution réelle.\\
\textbf{En conclusion} \\
1 est l'unique solution de l'équation $x^{3}+9x-10=0$. Donc $N=1$. 


\end{enumerate}



\end{exercice}


\begin{exercice}\\
Soit $\dfrac{p}{q}$ la fraction irréductible la plus proche de $ \dfrac{3}{7}$, distincte de $ \dfrac{3}{7}$, et dont le dénominateur est inférieur à 100.\\
On a : $p \in $ \textbf{N},$p \in $ \textbf{N}, $ \dfrac{p}{q}- \dfrac{3}{7}=\dfrac{7p-3q}{pq}$ et $\dfrac{7p-3q}{pq}\neq 0$. 
\begin{enumerate}
\item Premier cas : $\dfrac{p}{q}-\dfrac{3}{7}>0$.\\
Comme $pq>0$ , on en déduit que $7p-3q$ est un entier strictement positif.\\
Comme $\dfrac{7p-3q}{pq}$ doit être le plus petit possible, on en déduit que $7p-3q=1$.\\
Cette équation admet une solution particulière : $p=1, q=2$.\\
L'équation $7p-3q=1$ équivaut donc à $7p-3q=7\times 1-3 \times 2$ donc à $ 7(p-1)=3(q-2) $.\\
3 est un diviseur de $3(q-2)$ donc un diviseur de $7(p-1)$ . Comme3 n'est pas un diviseur de 7, c'est un diviseur de $(p-1)$.
Il existe donc un entier $k$ tel que $p-1=3k$.Alors $q-2=7k$.
On vérifie réciproquement que les couple $(p,q)$ où$p=1+3k$ et $q=2+7k$ avec $k$ entier, sont solutions de l'équation$7p-3q=1$.\\
La valeur de $q$ la plus grande possible, inférieure ou égale à 100,  est obtenue pour $k=14$.\\
Si $k=14, q=100$ et$ p=43$.\\
$\dfrac{43}{100}-\dfrac{3}{7}=\dfrac{1}{700}$. $\dfrac{43}{100}$ est une valeur approchée de $\dfrac{3}{7}$ à $ \dfrac{1}{700} $ près par excès.
\item Deuxième cas : $\dfrac{p}{q}-\dfrac{3}{7}<0$.\\
On cherche alors les entiers naturels $p$ et $q$ tels que $3q-7p=1$.\\
Une solution particulière de cette équation s'obtient pour $q=5$ et $p=2$. \\
On démontre de même que les solutions entières de cette équation sont les couples d'entiers naturels $(p,q)$ pour lesquels il existe un entier $k$ tel que $p=3k+2$ et $q=7k+5$.
La valeur de $q$ la plus grande possible, inférieure ou égale à 100,  est obtenue pour $k=13$. Si $k=13$ alors $ q=96$ et$ p=41$.\\
$\dfrac{3}{7}-\dfrac{41}{96}=\dfrac{1}{672}$. $\dfrac{41}{96}$ est une valeur approchée de $\dfrac{3}{7}$ à $ \dfrac{1}{672} $ près par défaut.\\
D'autre part,  $ \dfrac{1}{672}>\dfrac{1}{700} $.\\
La fraction la plus proche de $\dfrac{3}{7}$, distincte de $\dfrac{3}{7}$ est donc $\dfrac{43}{100}$.
\end{enumerate}



\end{exercice}


\end{document}

