Nombres - Calculs

• Nombres
• Calculs

Tâches complexes

• Introduction
• Documents officiels
• Quelques exemples

Problèmes ouverts

• Introduction
• Compétences travaillées
• Quelques exemples

Progressions

• Introduction
• Quelques éléments de réflexion
• Quelques éléments de progressions

Du primaire au collège

• Diagnostic à l'entrée en sixième
• Consolidation des acquis du palier 2
• Nombres et calculs
• Exposés (compétences 1, 3 et 7)
• Géométrie

Documents pour le collège

Entre 2010 et 2013, des groupes de professeurs de mathématiques enseignant en collège ont réfléchi sur différents thèmes clés. Les documents mis en ligne ci-après résultent de leur travail collaboratif.

Nombres - Calculs

Tout au long de leur scolarité au collège, les élèves doivent découvrir et s’approprier différentes sortes de nombres et les calculs sur ces nombres. Cette appropriation va de pair avec la compréhension de propriétés qui permettent de les caractériser et qui peuvent être en continuité ou en rupture avec celles des nombres déjà connus.

Nombres

La construction du nombre à l'école

À l’école maternelle, le nombre apparaît à travers la chaîne numérique. On apprend aux élèves à percevoir les fonctions du nombre comme représentation de la quantité ou moyen de se repérer dans une liste ordonnée d’objets. Diverses situations sont proposées comme des distributions, des comparaisons ou des appariements. Ce n’est qu’en fin de maternelle que le symbole est introduit.

Le cycle des apprentissages fondamentaux est l’occasion d’introduire la numération décimale inférieure à 1 000. Les élèves apprennent à dénombrer des collections, à comparer des nombres et à les ranger. C’est la période de mémorisation des tables d’addition et de multiplication par 2, 3, 4 et 5. À travers des activités de calcul mental, on travaille les premières propriétés des nombres.

Au cycle des approfondissements, l’étude des nombres est poursuivie jusqu’au milliard. Les élèves travaillent la numération décimale de position, la désignation orale et écrite des nombres et commencent à travailler sur le repérage sur une droite graduée. Les nombres décimaux et les fractions sont introduits. Les élèves arrivant au collège ont notamment travaillé sur l’écriture d’un nombre comme somme d’un entier et d’un nombre rationnel inférieur à 1, sur la somme de deux fractions décimales ou de même dénominateur. L’introduction des nombres décimaux est l’occasion de montrer qu’un nombre admet plusieurs écritures et de passer de l’écriture à virgule à l’écriture fractionnaire et inversement. Le travail sur le calcul mental est continué afin de compléter les connaissances sur les propriétés des nombres.

Les nombres entiers comme modèles  

Dénombrer :

Le film de Philippe Truffault, réalisé à partir de l’ouvrage de Denis Guedj, « L’empire des nombres », donne quelques indications sur l’émergence de la notion de nombre (entier). On pourra visionner l’un ou lire l’autre.

De la répétition de la comparaison de quantités s’est peut-être fait jour l’idée d’associer à des collections dont les éléments pouvaient être mis en vis-à-vis quelque chose représentant l’endroit où s’arrêtait l’appariement.
Dénombrer signifie que l’on associe une dénomination à une quantité. Cette dénomination prend appui sur la suite numérique (l’ensemble des nombres entiers). Le dénombrement repose sur quatre principes :
• la nature des éléments n’a pas d’importance pour la réponse finale (du dénombrement) ;
• l’ordre du dénombrement des éléments n’affecte pas la réponse finale (du dénombrement) ;
• le dernier nom de la suite numérique est considéré comme le nombre d’éléments de l’ensemble ;
• à chaque élément de l’ensemble est associé un mot de la suite numérique.

En français, l’adjectif numéral cardinal caractérise l’effectif de la collection d’objets, l’adjectif numéral ordinal représente l’endroit où on s’est arrêté de compter.


Calculer, c'est compter :

Giuseppe Peano (1858-1932) a en quelque sorte fait la synthèse de l’expérience de l’humanité en faisant reposer sa construction de l’ensemble des entiers naturels sur l’existence d’une application de N dans lui-même, appelée succession. Additionner deux nombres (entiers, toujours), c’est mettre une suite représentant le second au bout d’une suite représentant le premier et regarder où s’arrête la nouvelle suite. Multiplier un par l’autre, c’est mettre bout à bout (à l’école, on les dispose en rectangle) des copies d’une suite représentant le premier, en quantité égale au second. On pourra consulter sur ce sujet ce que Daniel PERRIN écrivait pour ses étudiants préparant le CAPES (Ce document couvre aussi la construction des entiers relatifs).


Les propriétés des opérations sur les entiers :

Les définitions données par Peano permettent d’établir (par récurrence) les propriétés des opérations (indifférence du résultat vis-à-vis de l’ordre des termes et vis-à-vis des groupements de termes pour l’addition et pour la multiplication, et distributivité).
Il est à noter que ce qu’on appelle priorité de la multiplication sur l’addition est une simple – mais indispensable – convention permettant à tout le monde d’attribuer au même calcul le même résultat.

L'ordre usuel sur les entiers :

L’ordre sur les entiers est naturellement construit sur la succession. La compatibilité de l’ordre avec les opérations provient de cette origine commune (et, là encore, correspond à l’expérience de l’humanité).


Un exemple d'exercice faisant intervenir le successeur :

Une entreprise doit expédier 6 523 lettres à ses clients. Elle achète les enveloppes par paquets de 100. Sans effectuer un seul calcul mais en justifiant votre réponse, combien cette entreprise va-t-elle acheter de paquets d’enveloppes ?


Un exemple d'exercice faisant intervenir la notion d'ordre :

Démontrer que le produit de deux nombres est inférieur ou égal à la demi-somme de leurs carrés.


Renversement des valeurs : et si c'étaient les propriétés des opérations qui faisaient les nombres ?

Les opérations sur les nombres entiers ont des propriétés si pratiques qu’il est tentant d’imaginer d’appeler « nombres » des objets sur lesquels les opérations possibles auraient ces propriétés-là…

Les nombres relatifs  

Quelques traces historiques :

Les obstacles dans la construction du concept de nombre relatif furent nombreux et l’émergence des nombres négatifs en tant que nombres à part entière a été longue et difficile.
Les Chinois au 2^e siècle avant notre ère ont commencé à utiliser des quantités négatives. Pour les besoins de la comptabilité, ils manipulaient des jonchets, en couleur pour les nombres positifs et noirs pour les nombres négatifs.

Le mathématicien indien Brahmagupta (598 - 660) a donné, sans justification, des règles de calcul permettant d’expliciter des débits dans les comptes. « Une dette retranchée du néant devient un bien, un bien retranché du néant devient une dette. »
Cependant le nombre reste encore attaché à des quantités physiques et le nombre négatif n'a guère de statut légal : le perse Al Khwarizmi (783 - 850) accepte les termes négatifs dans les équations mais s’en débarrasse au plus vite.
Les nombres négatifs apparaissent en Occident par la résolution d’équations. Chuquet (1445 - 1500) est le premier à isoler une quantité négative dans l’un des membres d’une équation. Cardan (1501 - 1576) est un des premiers à admettre l’existence de solutions négatives. En 1591, Viète (1540-1630) pose les bases du calcul littéral, mais les lettres ne représentent que des quantités positives et les solutions négatives des équations ne sont pas admises. Presque jusqu’au XXème siècle, lorsqu’on aboutit à une solution négative, on conseille de réécrire le problème de manière à l’éviter. Tel est le cas du mathématicien et ingénieur Lazare Carnot (1753 - 1823) :
« Pour obtenir réellement une quantité négative isolée, il faudrait retrancher une quantité effective de zéro, ôter quelque chose de rien : opération impossible. Comment donc concevoir une quantité négative isolée ? » D’Alembert (1717 - 1783) lui-même dans l'encyclopédie envisage le nombre relatif comme une idée dangereuse.


Une chose s'écrivant avec un signe — est-elle un nombre ? :

La notion de nombre relatif semble d’un abord facile à nos élèves, et les professeurs peuvent leur rappeler beaucoup d’exemples de nombres « avec un signe — devant ». Ces présentations laisseront la trace, hélas reprise souvent comme « définition » : un nombre relatif est un nombre précédé d’un signe…
Les exemples concrets peuvent même s’entrechoquer : dans l’exemple classique de l’ascenseur, on peut se demander si ce sont les numéros des étages ou les déplacements (descendre de trois étages, monter de 4) qui sont des nombres.
On n’a pas besoin que les symboles servant à repérer les points d’une droite graduée soient des nombres tant qu’on n’est pas amené à faire avec des opérations.


Où on décide d'appeler nombres les solutions des équations dont les données sont des nombres :
Comme le suggèrent le programme et les documents ressource, il vaut mieux ne pas chercher à faire croire à une introduction naturelle, à travers des exemples concrets. Les anciens dont il est question au premier paragraphe n’étaient ni dans l’erreur ni dans l’ignorance, simplement ils n’osaient pas franchir le pas. On pourra revenir tant que de besoin sur les exemples concrets avec les élèves quand on aura pris la décision d’introduire les nouveaux nombres grâce aux opérations, en exigeant et en vérifiant qu’avec eux les propriétés des opérations sont conservées. Les calculatrices gardaient la trace de cette démarche constructive en proposant deux touches « moins », une servant à la soustraction, l’autre à introduire l’opposé d’un nombre.

Une calculatrice proposant deux touches "moins"
Les nombres négatifs :

Une étape préliminaire peut se faire lors du chapitre sur l’organisation des calculs avec des exercices de ce type :

Margot va à la librairie, elle achète deux articles : un cahier à 2,75 € et un livre à 8,25 €. Le libraire lui fait une réduction de 0,50 € sur le prix du livre.
Calculer le prix total que Margot doit payer de deux façons différentes et pour chacune, écrire les calculs en une seule ligne.

Il s'agit d'écrire :  
$2,75+(8,25-0,50)=(2,75+8,25)-0,50$

Avec plusieurs exercices du même type, bien faire repérer la structure aux élèves puis leur faire formuler la propriété en désignant les nombres par des lettres (comme pour la distributivité).

Propriété admise : Quels que soient les nombres (entiers ou décimaux) a, b, c, avec b ≥ c nous avons : 
$(a+b)-c=a+(b-c)$

Introduction d’un nombre négatif comme solution d’une équation :

Exercice : Compléter les égalités :
$7+\dots =11$
$28+\dots =85$
$194+\dots =251$
$37+\dots =37$
$6+\dots =4$

Une illustration de la résolution à l’aide de la demi-droite graduée peut être proposée ; la soustraction est perçue comme un déplacement vers la gauche.

Le nombre manquant de la 1^re égalité est   $11-7$.

Graphiquement, on s’aperçoit que pour la dernière égalité, la demi-droite graduée ne suffit plus : on « tombe dans le vide ».
Par analogie avec les autres équations, on attend la réponse  $4-6$  tout comme dans le 1^er cas on a $11-7$  et alors  $7+(\mathrm{ 11}-\mathrm{7 })=11$.
Cette égalité est vérifiée en appliquant la propriété de l’étape préliminaire.
$7+(\mathrm{ 11}-\mathrm{7 })=(\mathrm{ 7}+11)-\mathrm{7 }=18-7=11$

Pour le dernier exercice, la différence   $4-6$  est impossible jusqu’à présent mais l’exercice proposé doit avoir une solution ! Et si on applique la propriété, on obtient :
$6+(\mathrm{ 4}-\mathrm{6 })=(\mathrm{ 6}+4)-\mathrm{6 }=10-6=4$  ce qui justifie l'égalité   $6+(\mathrm{ 4}-\mathrm{6 })=4$.
Et il y a d’autres solutions possibles :   $3-5$ ou $2-4$ ou $1-3$ ou $0-2$…
En effet : $6+(\mathrm{ 3}-\mathrm{5 })=(\mathrm{ 6}+3)-\mathrm{5 }=9-5=4$ et  $6+(\mathrm{ 0}-\mathrm{2 })=(\mathrm{ 6}+0)-\mathrm{2 }=6-2=4$ 
$4-6$ ou $3-5$ ou $2-4$ ou $1-3$ ou $0-2$  correspondent à un nouveau nombre noté $-2$.
Nous retrouvons de façon sous-jacente la construction des nombres relatifs comme classe d’équivalence de couples d’entiers : les couples $(\mathrm{ 4};6);(\mathrm{ 2};4);(\mathrm{ 1};3);(\mathrm{ 0};2)$   sont équivalents et leur classe est notée $-2$. Le nombre négatif est introduit comme différence de deux entiers. Nous récupérons ainsi la cohérence mathématique de la construction des nombres relatifs.

Bilan : On peut effectuer des soustractions pour lesquelles le premier nombre est plus petit que le deuxième, le résultat est un nombre négatif, il s’écrit avec un signe “ – ”.
$-2=0-\mathrm{2 }=\mathrm{ 1}-\mathrm{3 }=\mathrm{ 4}-\mathrm{6 }=\dots$
On a alors   $6+(-\mathrm{ 2})=4$.
La demi-droite graduée est étendue à la droite graduée et on y place le nombre $-2$. Le point d’abscisse $-2$  est symétrique du point d’abscisse 2 par rapport à l’origine.
L’ensemble des entiers est inclus dans l’ensemble des relatifs.


Nombres opposés :

Exercice proposant une liste d’additions de deux termes où la place du nombre manquant change, le calcul se faisant grâce à la commutativité de l’addition que l’on prolonge. En fin de liste, compléter : $\dots +7=0$  où le nombre manquant est $0–7=–7$  ; ce travail permet ainsi de définir l’opposé d’un nombre relatif, si cela n’a pas été fait au tout début, comme dans une construction par symétrisation.

Bilan : Deux nombres sont opposés quand leur somme vaut zéro.
$7+(-\mathrm{ 7})=0$.
Les deux nombres $(-\mathrm{ 7})$ et $7$ sont opposés.


Retour à l'addition et à la soustraction :

Les calculs suivants peuvent être faits : $35-17=18$  et donc $17+18=35$  d’après la définition de la différence de deux nombres entiers : la différence de deux nombres est le nombre qu’il faut ajouter au nombre que l’on retranche pour obtenir le nombre de départ.
$7-9=-2$  et donc  $9+(-2)=7$ , la définition reste applicable.
$17-35=-18$  et donc  $35+(-18)=17$

Comment calculer   $-5+3$ ?
On fait intervenir l'opposé de $(-5)$ et la propriété préliminaire.
$-5+3=-5+(5-2)=(-5+5)-2=0-2=-2$

De même, comment calculer $-4+(-5)$ ?
On fait intervenir l'opposé de $-4$ et la propriété préliminaire.
$-4+(-5)=-4+(4-9)=(-4+4)-9=0-9=-9$

Avec différents exemples, il devient possible de construire des phrases pour décrire les différentes situations.
Passage à la soustraction avec deux nombres négatifs : $-6-(-4)$  est le nombre qu’il faut ajouter à  $-4$  pour obtenir   $-6$.
$-4+?=-6$ , le nombre cherché est   $-2$.
Par conséquent : $-6-(-4)=-2$
Et on sait aussi que le nombre qu’il faut ajouter à $-6$  pour obtenir $-2$  est $4$  : $-6+4=-2$
Retrancher $-4$ , c’est ajouter son opposé $4$.


Mise en place de la multiplication pour les négatifs :

Proposition de calculs pour démarrer :

$-3+(-3)+(-3)+(-3)+(-3)+(-3)=$

$-5+(-5)+(-5)=$

$-3,5+(-3,5)+(-3,5)+\dots \dots +(-3,5)=$

100 termes

Revenir à la définition de la multiplication de deux entiers qui remplace une addition réitérée du même nombre : on peut l’étendre ici avec les nombres négatifs et même avec les décimaux.

D'autres calculs pour continuer :
$0\times 2=$
$0\times (-3)=$
$(-7,2)\times 0=$
Il s’agit de rappeler que $0$ est absorbant pour la multiplication des nombres positifs et ce sera vrai aussi avec les nombres négatifs.

Puis :
$-3\times 6=$
$-6\times 3=$
$-7,5\times 2=$
En utilisant la commutativité, la situation est la même que ci-dessus.

Étude de $4,2\times (-8)$ , une multiplication qui ne peut être remplacée par une addition réitérée car aucun des facteurs ne peut jouer le rôle du « nombre de fois ».
La réponse $-33,6$  est facilement proposée par les élèves, il s’agit de prouver que c’est la bonne.
On sait que $4,2\times 8=33,6$ et on conjecture que $4,2\times (-8)=-33,6$ .
Ces deux produits seraient donc opposés. Calculons leur somme.
$S=4,2\times 8+4,2\times (-8)$
Nous avons un facteur commun $4,2$ , il est donc possible de factoriser en utilisant la distributivité.
$S=4,2\times (8+(-8\left)\right)$
$S=4,2\times 0$
$S=0$
La somme est nulle, les deux produits sont donc opposés. Par conséquent : $4,2\times (-8)=-33,6$.

Étude de $-5\times (-7)$
On peut procéder comme ci-dessus et prouver que ce produit est l’opposé de $5\times (-7)$ ou l’opposé de $-\left(5\right)\times 7$.
On peut aussi remplacer $-7$ par $0-7$ et utiliser la distributivité.
$-5\times (-7)=-5\times (0-7)=-5\times 0-(-5)\times 7=0-(-35)=0+35=35$

Bilan : Après plusieurs exercices pour bien mettre les choses en place, on peut écrire :
• Le produit de deux nombres positifs est positif.
• Le produit de deux nombres négatifs est positif.
• Le produit de deux nombres de signes contraires est négatif.



Conclusion :

L’introduction des relatifs dans un contexte interne aux mathématiques permet de les présenter comme des nombres : ils suivent les propriétés définies à l’intérieur des mathématiques indépendamment de leur interprétation dans un modèle concret. Bien sûr les applications de la vie courante apparaitront dans les exercices traités en aval.
C’est une présentation tout à fait différente qui s’appuie sur ce que les élèves connaissent déjà sur les nombres positifs.
Elle permet un travail plus facile sur l’écriture qui n’est pas alourdie par les parenthèses systématiques. Et la réflexion et le souci de justifier sont le fil conducteur…

Calculs

Introduction

• Le calcul numérique au collège (doc.ressources)
• Du numérique au littéral (doc.ressources)

Calcul mental

• Une demande des programmes du collège et du lycée
• Pratique en classe du calcul mental
• Une année de calcul mental en cinquième

Tâches complexes ≜

Introduction

Une tâche complexe mobilise les connaissances, les capacités et les attitudes acquises pour en développer de nouvelles et fait donc partie intégrante de la notion de compétence.

Qu'est-ce qu'une tâche complexe ?

Une tâche complexe est une tâche mobilisant des ressources internes (culture, capacités, connaissances, vécu…) et externes (aides méthodologiques, protocoles, fiches techniques, ressources documentaires…). Chaque élève peut adopter une démarche personnelle de résolution pour réaliser la tâche. Une tâche complexe ne se réduit pas à l’application d’une procédure automatisée.

Dans ce contexte, complexe ne veut pas dire compliqué.

Une tâche complexe est une tâche mettant en oeuvre une combinaison de plusieurs procédures simples, automatisées, connues. Elle nécessite l’élaboration par l’élève d’une stratégie (et non pas de la stratégie experte attendue) et fait appel à plusieurs ressources.

La notion de tâche complexe fait partie intégrante de celle de compétence, comme le rappelle le préambule du socle commun :

« Maîtriser le socle commun, c’est être capable de mobiliser ses acquis dans des tâches et des situations complexes, à l’école puis dans la vie ».

On compte sur la tâche complexe, pas toujours mais souvent, pas systématiquement mais à bon escient, pour motiver les élèves et les former à gérer des situations concrètes de la vie réelle en mobilisant les connaissances, les capacités et les attitudes acquises.

Dans la vie courante, les situations sont toujours complexes, à un degré plus ou moins important. Les résoudre ne se réduit pas à les découper en une somme de tâches simples effectuées les unes après les autres sans lien apparent.

Les tâches simples incitent davantage à des reproductions de procédures laissant peu d'initiative à l'élève alors que les tâches complexes permettent une stratégie de résolution propre à chaque élève. (Vademecum socle C3, page 4)



Documents officiels

• Socle C3 Vade-mecum
• Banque de situations d'apprentissage: La banque de situations d'apprentissage propose 37 fiches pour les mathématiques, la physique-chimie, les SVT, la technologie ainsi que des situations interdisciplinaires. Ces fiches sont téléchargeables au format word pour que les enseignants puissent les modifier selon leurs besoins.
  
  Chaque situation est suivie du ou des niveaux d'enseignement ; l'indication (d…) se rapporte au degré de familiarisation du professeur avec le travail par compétences.

Quelques exemples

• Les atomes
• Thalès et Jules Verne
• En Nouvelle Calédonie
• Cinq exemples issus du DNB
• Se rendre au Palais de la Découverte

Problèmes ouverts ≜

Introduction

« Une grande découverte résout un grand problème, mais il existe un brin de découverte dans la solution de tous les problèmes. Peu importe que le problème soit modeste, s’il pique votre curiosité et fait intervenir vos facultés d’invention et si vous le réglez par vos propres moyens, il se peut que vous ressentiez la tension et le triomphe de la découverte. »

George Pólya, How to Solve It , 1945



Un problème ouvert doit permettre aux élèves de s’engager dans une démarche scientifique : Essayer, conjecturer, tester, prouver. L’énoncé est court, n’induit ni méthode, ni solution, il est ouvert. Il est exprimé simplement mais la solution n’est pas évidente. Il est d’ailleurs préférable qu’il y ait plusieurs méthodes pour y parvenir.


Une résolution en petits groupes ou en îlots se prête particulièrement à ces types de travaux.

Les programmes du collège de 2008 le rappellent : « pour prendre sens pour les élèves, les notions mathématiques et les capacités qui leur sont liées gagnent à être mises en évidence et travaillées dans des situations riches, à partir de problèmes à résoudre, avant d’être entraînées pour elles-mêmes. » Les exemples qui vous sont proposés ici sont le fruit du travail de professeurs de l’académie de Versailles pendant l’année scolaire 2012 – 2013.
Ils peuvent être l’objet d’une utilisation en classe comme dans un devoir en temps libre.

Compétences travaillées

• S'engager dans une démarche.
• Mettre en oeuvre un raisonnement.
• Communiquer.
• Réinvestir des connaissances.

Quelques exemples

Le niveau proposé ne l’est qu’à titre indicatif.

Tout niveau	À partir de la 6e	À partir de la 5e	À partir de la 4e	À partir de la 3e
À la ferme Les généraux chinois au collège Que de 1 ! Pyramides de cubes L’échiquier et les triminos Nombres entiers de trois chiffres Multiples de 12 Le 12 décembre	Les diagonales du losange Un très grand nombre Les pérégrinations de Bébert le bélier	Le réveil matin	Wasan Trajet sur une pyramide Le porte-bonheur Que de 2 ! Carré double Partage du carré	À la plage





Progressions ≜

Introduction

L’élaboration, la programmation et la mise en œuvre d’une progression annuelle entrent pour une part importante dans les apprentissages des élèves, notamment pour des questions de structuration et d’ancrage dans la durée. Les éléments de progressions proposés ont été élaborés et utilisés par des professeurs de l’académie de Versailles au cours des années scolaires 2012-2013 et 2013-2014. Ils peuvent être librement utilisés, modifiés ou complétés ; ils n’ont aucune valeur normative, mais peuvent contribuer à la réflexion des équipes de mathématiques.

Quelques éléments de réflexion dans l'élaboration d'une progression

On propose ci-dessous quelques éléments de réflexion qui peuvent être pertinents lors de l’élaboration d’une progression. Ces éléments sont présentés sous forme d’une liste pour des raisons de lisibilité, mais sont à même d’être articulés et coordonnés entre eux.

Construire une progression commune par niveau en l’inscrivant dans un cadre commun aux quatre années de collège :

L’élaboration d’une progression commune à l’équipe disciplinaire présente des avantages, dont :
• la garantie d’une certaine cohérence sur le niveau ;
• le rôle de « facilitateur » lors de l’élaboration puis de la mise en œuvre de dispositifs et actions (évaluations communes, dispositifs de remédiation, groupes de compétences sur plusieurs classes d’un même niveau…).
De plus, l’élaboration d’une progression sur un niveau doit aussi se penser dans la perspective des quatre années de collège. Par exemple, on peut choisir :
• un corpus de démonstrations à aborder chaque année, choisies parce qu’elles présentent des formes de raisonnement variées ;
• les définitions de certains objets mathématiques (médiane d’une série statistique, médiatrice d’un segment…) ;
• des étayages permettant une initiation très progressive à la démonstration afin de développer l’autonomie des élèves sans les enfermer dans un cadre formel contraint, notamment en termes rédactionnels.


Prendre en compte les programmes des classes antérieures et postérieures :

Deux illustrations :
• la place de l’algorithmique, des fonctions, de la statistique et des probabilités au lycée est de nature à induire certains choix lors de l’élaboration de progressions au collège, notamment en classe de 3^e ;
• la connaissance du programme de mathématiques de l’école primaire permet de mieux appréhender :
• la construction des nombres décimaux et des nombres en écriture fractionnaire,
• la rupture dans le passage de l’observation/la manipulation (école primaire) à la démonstration/la conceptualisation (collège) : on peut penser au statut de la figure en géométrie qui n’est pas similaire à l’école primaire et au collège.

Veiller à la longueur des chapitres :

Une durée raisonnable permet à la fois de favoriser le réinvestissement des notions abordées et la mise en cohérence des notions traitées dans d’autres chapitres.

Veiller à l’ordre des chapitres :

L’articulation des chapitres doit tenir compte de l’ordre des notions abordées aussi bien que de l’alternance à établir entre les grandes parties du programme de mathématiques. La question des chapitres placés au début et à la fin de la progression est délicate. Il semble pertinent :
• de commencer la progression par une nouveauté du programme de la classe concernée ;
• d’aborder les notions essentielles du programme tôt dans l’année puis de les travailler régulièrement tout au long de l’année (exemple : le calcul littéral au collège) ;
• de ne pas repousser systématiquement à la fin de l’année des chapitres tels que ceux consacrés à la géométrie dans l’espace et aux statistiques. En fin d’année, il apparaît plus pertinent de privilégier des chapitres venant en complément d’autres chapitres abordés au cours de l’année.


Veiller à ne pas faire de chapitre de révision :

Comme indiqué dans le programme du collège, « il est nécessaire d’entretenir les capacités développées dans les classes antérieures […] Cet entretien doit être assuré non par des révisions systématiques, mais par des activités appropriées, notamment des résolutions de problèmes ». À titre d’exemple, un chapitre de révision autour du calcul numérique n’est pas nécessairement efficace sur le long terme.

Construire une progression déclinée à la fois verticalement et horizontalement :

Il est important qu’une progression soit à la fois déclinée verticalement (nom du chapitre, durée prévue) et horizontalement. Pour chaque chapitre abordé, un « bandeau » horizontal peut rappeler, par exemple, les objectifs du chapitre, le travail sur les compétences à mener, les activités et logiciels employés, les démonstrations de propriétés envisageables (si possible communes à l’équipe), des activités mentales, et les notions vues antérieurement qui pourraient être réinvesties dans des exercices. Il convient aussi de positionner dans cette progression les évaluations, les travaux de recherche et les devoirs réalisés en dehors de la classe rendus à l’enseignant.

Élaborer et exploiter une progression fractionnée ou spiralée :

L’idée est de revenir régulièrement sur une même notion, ce qui facilite l’ancrage des apprentissages dans la durée et le travail autour des compétences. En outre, cela pose de façon moins aiguë le choix des chapitres à mettre en fin d’année. Des chapitres comme le calcul littéral en 3^e, les puissances en 4^e et la symétrie centrale en 5^e gagnent à être fractionnés.

Quelques éléments de progressions

Classe de sixième	Classe de cinquième	Classe de quatrième	Classe de troisième
Exemple de progression (.doc) (.pdf)	Exemple 1 (.doc) (.pdf) Exemple 2 (.doc) (.pdf)	Exemple de progression (.doc) (.pdf) Fichiers afférents à cet exemple de progression : Cosinus (.doc) (.pdf) Situation de non proportionnalité (.doc) (.pdf) Démonstration du théorème des milieux (.doc) (.pdf) Deux exercices en calcul numérique (.doc) (.pdf) Intensité sonore (.doc) (.pdf) Le théorème de Varignon (.doc) (.pdf) Maths et histoire des maths (.doc) (.pdf) Points d'un cercle et angle droit (.doc) (.pdf) Pourcentages (.doc) (.pdf)	Exemple de progression (.docx) (.pdf) Fichiers afférents à cet exemple de progression : Cosinus (.doc) (.pdf) Diaporama Vers les systèmes (.pptx) (.pdf) Vers les systèmes (.doc) (.pdf) Lancer de dé (.xlsx)


Vos propositions sont les bienvenues. Nous vous invitons à envoyer vos contributions aux inspecteurs pédagogiques régionaux de mathématiques afin d’alimenter la réflexion de tous sur ce thème.




Du primaire au collège ≜

Les notions abordées en primaire sont, pour une grande part, en cours d’acquisition à l’entrée au collège (le système décimal, par exemple). Le travail à mener en sixième doit s’appuyer sur les apprentissages du primaire afin de les consolider et de les approfondir.

Diagnostic à l'entrée en sixième

Pour être en mesure d’évaluer les acquis des élèves à l’entrée au collège et la marge de progression, un diagnostic est indispensable. Le dossier ci-dessous propose différents outils permettant de le réaliser.

Évaluations nationales, banque d'outils d'aide à l'évaluation diagnostique

Consolidation des acquis du palier 2

Remédier n’est pas refaire plusieurs fois le même exercice.
Les différentes ressources proposées ci-dessous reprennent certaines notions clés en variant les approches, l’un des objectifs étant la validation du palier 2.

• Outils TICE
• Organisation de la remédiation en sixième

Nombres et calculs

• Article paru dans les Cahiers pédagogiques (Anne-Marie Sanchez)
• Le ticket de caisse
• Grilles de nombres croisés
• Sudokus
  • Sudomaths "Vocabulaire des opérations"
  • Sudomaths "Multiplié"
  • Sudomaths "Divisé"
• Puissance 4
• Multiples et coloriage
• Triangle de Sierpinski

Exposés (compétences 1, 3 et 7)

Compétence 1 : Maîtrise de la langue française
Compétence 3 : Principaux éléments de mathématiques et culture scientifique et technologique
Compétence 7 : Autonomie et initiative

Exemples de sujets d'exposés visant à développer l'initiative, le travail en équipe, la maîtrise de la langue

Géométrie

De l’école primaire au collège, on passe d’une identification perceptive des figures à une caractérisation par des propriétés s’appuyant sur des définitions des objets mathématiques étudiés (à l’exclusion de ceux qui sont des notions premières : plan, point, droite...).
L’élaboration d’une progression en géométrie demande une réflexion solide sur les enchaînements qu’elle sous-tend.

Articulations en géométrie

Une réflexion sur les enchaînements possibles en géométrie en sixième :
• Proposition d’articulations des notions du programme
• Mise en place de ces notions dans les séances (lien à venir)
• Activités diverses
  • Reproduction d'une figure sur papier pointé
  • Activités sur le cercle

Vocabulaire et définitions

• Un premier document recense les principes de base, les écueils à éviter ainsi qu’une liste de mots rencontrés en mathématiques au cours de l’année de sixième.
• Le deuxième document introduit le vocabulaire de la démonstration ainsi que les premières notions de logique.
  On y pointe également les difficultés et les erreurs les plus fréquentes.
• Quant au troisième, il propose différents exercices visant à faire progresser les élèves dans leurs capacités langagières et contribuant aussi à faire évoluer leur vision des figures.

Périmètres, aires et volumes

Les exercices proposés visent à approfondir les concepts de périmètre, d’aire et de volume sans utiliser de « formules ».