Sujets non retenus

Sujet n°1

ABC est un triangle isocèle rectangle en A.
B' est le symétrique de B par rapport à A.
On appelle E l'ensemble formé par la droite (B'C) privée du point B'.
Pour tout point M de E, on considère le triangle ABM.

1. Déterminer et construire l'ensemble parcouru par le centre de gravité G du triangle ABM quand M parcourt E.
2. Déterminer et construire l'ensemble parcouru par le centre O du cercle circonscrit au triangle ABM quand M parcourt E.
3. Déterminer et construire l'ensemble parcouru par l'orthocentre H du triangle ABM quand M parcourt E.
   On pourra se placer dans le repère $\left(A;\overrightarrow{\mathrm{AB}},\overrightarrow{\mathrm{AC}}\right)$.

Sujet n°2

On considère un billard circulaire de centre O et de rayon R.
Une boule, lancée d'un point M strictement intérieur à ce billard, repasse en ce point après s'être sucessivement réflèchie sur le pourtour du billard en trois points distincts A, B et C.
On se propose d'analyser comment le joueur a choisi la direction de lancement de la boule.
Partie A
Eléments de symétrie de la trajectoire

1. Démontrez que les points A et C par exemple sont symétriques par rapport à la droite (OB).
2. En déduire qu'il existe six angles orientés de mesure $\alpha$.

Partie B
On suppose dans cette partie que les points M, A et C ne sont pas alignés

1. Etude de la trajectoire
   a. Démontrez que la médiatrice de [MA] et la droite (OA) se coupent en un point P appartenant à [OA].
   b. Calculez $\cos \left(\overrightarrow{\mathrm{OA}},\overrightarrow{\mathrm{OM}}\right)$ à l'aide de R et de d ($d=\mathrm{OM}$).
2. Tracé de la trajectoire
   a. Construire P, B, A et C.
   b. Quand cette construction est-elle possible ?
   c. A quelle condition les trois points M, A et C sont-ils alignés ?

Partie C
On suppose dans cette partie que les points M, A et C ne sont pas alignés.

1. Etudiez la trajectoire de la boule.
2. Etablir un bilan de cette étude.

Sujet n°3

Peut-on partager un disque en 9 parties d'aires égales, en utilisant uniquement une règle non graduée et un compas ?

Sujet n°4

On désire trouver les deux chiffres qui encadrent la virgule dans l'écriture décimale de : ${\left(\sqrt{2}+\sqrt{3}\right)}^{2002}$.

1. Former une équation du second degré qui admet pour racines ${\left(\sqrt{3}+\sqrt{2}\right)}^2$ et ${\left(\sqrt{3}-\sqrt{2}\right)}^2$.
2. On s'interesse alors à la suite $\left(u_n\right)$ définie sur $\mathbb{N}$ par $u_n={\left(\sqrt{3}+\sqrt{2}\right)}^{2n}+{\left(\sqrt{3}-\sqrt{2}\right)}^{2n}$.
   Etablir que la suite vérifie la relation de récurrence : $u_{n+2}-10u_{n+1}+u_n=0$ pour tout $n$ de $\mathbb{N}$.
   Pourquoi $u_k$ est-il un multiple de 10 lorsque $k$ est impair ?
3. En déduire le chiffre des unités et celui des dixièmes de ${\left(\sqrt{2}+\sqrt{3}\right)}^{2002}$.

Sujet n°5

ABC est un triangle et P un point intérieur au triangle ABC autre que A, B, C.
Les droites (PA), (PB), (PC) coupent respectivement les côtés [BC] [CA] et [AB] en A', B' et C'.
On note S l'aire du triangle ABC et S' celle de A'B'C'.
Prouver que $\frac{S\text{'}}{S}$ admet un minimum et un maximum.

Sujet n°6

On considère un triangle ABC et des points D, E et F situés sur les côtés [BC], [CA] et [AB] respectivement.
Les points D, E et F ne sont pas des sommets du triangle, et on suppose que $\frac{\mathrm{DB}}{\mathrm{DC}}=\frac{\mathrm{EC}}{\mathrm{EA}}=\frac{\mathrm{FA}}{\mathrm{FB}}$.
Les droites (AD) et (BE) se coupent en I, les droites (BE) et (CF) se coupent en J, les droites (CE) et (AD) se coupent en K.
On pose $\frac{\mathrm{DB}}{\mathrm{DC}}=x$.

1. Quelle relation les réels b et c vérifient-ils lorsque le point M, barycentre du système de points pondérés {(A,a), (B,b), (C,c)} est un point de la droite (AD) distinct de A ?

2. Définir chacun des points I, J et K comme barycentre des points A, B et C affectés de coefficients exprimés en fonction de $x$.

3. Exprimer le quotient $\frac{\mathrm{aire} \mathrm{du} \mathrm{triangle} \mathrm{IJK}}{\mathrm{aire} \mathrm{du} \mathrm{triangle} \mathrm{ABI}}$en fonction de $x$.

4. Peut-on trouver $x$ tel que les triangles IJK, BJC et CKA aient la même aire ?

Sujet n°7

Une unité de longueur étant choisie, on pose pour la figure ci-dessous :
$A_0{A}_1=A_1{A}_2=A_2{A}_3=A_3{A}_4=1$ et $A_{0}H=h$.
On désigne par ${\alpha }_1,{\alpha }_2,{\alpha }_3,{\alpha }_4$ les mesures en radians des angles géométriques marqués sur la figure.

1. Dans le cas où  $h=\sqrt{2}$, calculer ${\alpha }_1+{\alpha }_2$.

2. Dans le cas où  $h=1$, calculer ${\alpha }_1+{\alpha }_2+{\alpha }_3$.

3. Dans le cas où  $h=\sqrt{5}$, calculer ${\alpha }_1+{\alpha }_2+{\alpha }_3+{\alpha }_4$.

4. Calculer h pour que ${\alpha }_1+{\alpha }_2+{\alpha }_3=\pi$.

Sujet n°8

On appelle partie entière d'un réel x, et on note $E\left(x\right)$, le nombre entier vérifiant : $E\left(x\right)\le x\le E\left(x\right)+1$.
A tout entier naturel n non nul, on associe l'entier naturel $u_n$ défini par : $u_n=E\left(n\sqrt{2}\right)$ et l'entier naturel $v_n$ défini par : $v_n=E\left(n\left(\sqrt{2}+2\right)\right)$.
Montrer que tout entier naturel non nul $k$ est un terme d'une des deux suites ainsi définies, et que ces deux suites n'ont aucun terme commun.

Sujet n°9

1. Montrer que si les longueurs des côtés de trois polygones semblables sont respectivement proportionnelles à 3, 4 et 5, l'aire du plus grand est la somme des aires des deux autres.
2. Montrer que si les longueurs des côtés de quatre polyèdres semblables sont respectivement proportionnelles à 3, 4 , 5 et 6, le volume du plus grand est la somme des volumes des trois autres.

Sujet n°10

Les murs d'un couloir de 1 m font un angle de $\alpha$ degrés ($0<\alpha <180$). Sur le sol de ce couloir on fait glisser une tige rigide AB d'épaisseur négligeable.
Les données sont représentées sur la figure ci-dessous.
Le repère $\left(O;\overrightarrow{i},\overrightarrow{j}\right)$ est orthonormal direct et a est l'abscisse de A.

1. Cas où  $\alpha =90$
   Calculer ${\mathrm{AB}}^2$ en fonction de l'abscisse a du point A.
   Quelle est la longueur maximale de la tige AB qu'on peut passer par ce coin de couloir ?
2. Cas où  $\alpha \ne 90$
   Calculer les coordonnées de I en fonction de $\alpha$.
   Calculer les coordonnées de B en fonction de $\alpha$ et a.
   Calculer ${\mathrm{AB}}^2$ en fonction de $\alpha$ et a.
   Calculer ${\mathrm{AB}}^2$ lorsque la droite (OI) est perpendiculaire à (AB).
3. Cas où  $\alpha =120$
   Calculer ${\mathrm{AB}}^2$ en fonction de a.
   Vérifier que le polynôme $a\mapsto -3a^3\sqrt{3}+15a^2-6a\sqrt{3}+8$ s'annule pour $a=\frac{4\sqrt{3}}{3}$.
   Déterminer la longueur maximale de la tige AB qui peut passer par ce coin de couloir.

Sujet n°11

On considère un triangle ABC.
On note $a=\mathrm{AB},$ $b=\mathrm{AC}$ et $c=\mathrm{AB}$.
On appelle I le centre du cercle inscrit dans ABC.

1. Prouver que I est le barycentre de $\left\{\left(A,a\right),\left(B,b\right),\left(C,c\right)\right\}$.
2. On suppose qu'une droite $\Delta$ coupe les segments $\left[\mathrm{AB}\right]$ et $\left[\mathrm{AC}\right]$ respectivement en D et E et que cette droite partage le triangle ABC en deux polygones ADE et DBCE de même périmètre et de même aire.
   a. Vérifier que $\mathrm{AD}+\mathrm{AE}=\frac{a+b+c}{2}$ et que $\mathrm{AD}\times \mathrm{AE}=\frac{bc}{2}$.
   b. Prouver que la droite (DE) passe par le centre du cercle inscrit dans le triangle ABC.
3. Etude du tracé de la droite $\Delta$ dans des cas particuliers
   a. Prouver que la construction d'une telle droite $\Delta$ est impossible lorsque ${\left(a+b+c\right)}^2-8bc<0$.
   b. Tracer la droite $\Delta$ dans les cas suivants :
   - ABC est un triangle équilatéral
   - ABC est un triangle isocèle en B
   - ABC est un triangle isocèle en A, $a=10$ et $b=11,2$.
4. Existence de A dans un cas particulier
   Le segment [BC] étant donné, quelles sont les conditions sur $\frac{b}{a}$ pour que le triangle isocèle en A possède une droite $\Delta$ répondant au problème ?
   En déduire une construction à la règle et au compas de l'ensemble des points A qui conviennent.

Sujet n°12

s, r et t sont trois réels strictement positifs.
$\left(C_0\right)$ et $\left(C_1\right)$ sont deux cercles tangents extérieurement, de rayons respectifs s et t et de centres respectifs B et C.
(C) est un cercle de rayon r et de centre A, tangent extérieurement à  $\left(C_0\right)$ et à  $\left(C_1\right)$.
Les trois cercles $\left(C_0\right)$, $\left(C_1\right)$ et (C) sont tangents respectivement en S, T et R à une droite (D), comme indiqué sur la figure.

1. On suppose que $s=t$.
   Exprimer r en fonction de s.
2. Dans cette question, s n'est plus nécessairement égal à  t.
   a. Exprimer la distance ST en fonction de s et t.
   b. Déterminer r en fonction de s et t.
   
3. Dans cette question, la distance ST est égale à 1 et $s=t=\frac{1}{2}$.
   Le point T est renommé  $T_1$.
   On construit une chaîne de cercles ($C_n$), avec $n\ge 1$, de la façon suivante :
   Le cercle ($C_n$) est tangent à la droite (D) au point $T_n$ et a pour rayon $r_n$.
   La distance ${\mathrm{ST}}_n$ est notée $u_n$.
   On a donc $u_1={\mathrm{ST}}_1=1$ et $r_1$= t = $r_1=t=\frac{1}{2}$.
   La suite u est décroissante et pour tout n supérieur à 1, $\left(C_{n+1}\right)$ est tangent à  $\left(C_0\right)$, $\left(C_n\right)$ et (D).
   Calculer $u_2$, $u_3$ et $u_4$.
   Que peut-on conjecturer sur la valeur de $u_n$ ?
   Démontrer cette conjecture.